「座標法」の版間の差分

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'''座標法'''(ざひょうほう)とは、平面において[[測量多角形]]の頂点座標おける用語よってそ一つであり、[[土地面積]]を求める数学的[[面積アルゴリズム]]の計算方法。[[測量]]における用語の一つ。
靴紐公式、靴紐の方法、靴紐のアルゴリズム、ガウスの面積公式とも呼ばれる。
 
[[三辺法]]や[[三斜法]]に比べ、基本的に座標値を直接用いた[[四則演算]]のみで面積が求められるため、[[計算機]]上での求積に適しており、また余計な[[誤差]]が入り込む余地が少ないといえる。[[測量法]]に基づいて、[[公共測量]]を実施する際に測量計画機関が作成する作業規程の[[規範]]となる「作業規程の準則」([[2008年|平成20年]][[国土交通省]][[告示]]第413号)では、原則として面積の計算に座標法を使用することを規定している。
 
== 概要 ==
n個の頂点 (x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>),(x<sub>2</sub>,y<sub>2</sub>),...,(x<sub>n</sub>,y<sub>n</sub>) から成る自己交差を持たない多角形の面積は
<math>n\,\!</math> [[多角形]]からなる土地の各[[頂点]]の[[座標]]を順次 <math>(x_1,y_1),\ (x_2,y_2),\ \dots,\ (x_n,y_n)</math> とするとき、面積 <math>S\,\!</math> を
:<math>
:<math>S=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}(x_{k}y_{k+1}-x_{k+1}y_{k})\right|=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}x_k(y_{k-1}-y_{k+1})\right|=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}y_k(x_{k-1}-x_{k+1})\right|</math>
\begin{align}
として求めるものである。ただし、<math>{{x_0} \choose {y_0}}={{x_n} \choose {y_n}}, {{x_{n+1}} \choose {y_{n+1}}}={{x_1} \choose {y_1}}</math> とする。
S&=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}(x_{k}y_{k+1}-x_{k+1}y_{k})\right|\\
&=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}x_k(y_{k-1}-y_{k+1})\right|\\
&=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}y_k(x_{k-1}-x_{k+1})\right|
\end{align}
</math>
ただし x<sub>0</sub>=x<sub>n</sub>,y<sub>0</sub>=y<sub>n</sub>,x<sub>n+1</sub>=x<sub>1</sub>,y<sub>n+1</sub>=y<sub>1</sub>とする。
 
頂点の順序付けが反時計回りである場合、総和の結果は正であり、絶対値を省略することが出来る。時計回りである場合、総和の結果は負となる。
[[三辺法]]や[[三斜法]]に比べ、基本的に座標値を直接用いた[[四則演算]]のみで面積が求められるため、[[計算機]]上での求積に適しており、また余計な[[誤差]]が入り込む余地が少ないといえる。[[測量法]]に基づいて、[[公共測量]]を実施する際に測量計画機関が作成する作業規程の[[規範]]となる「作業規程の準則」([[2008年|平成20年]][[国土交通省]][[告示]]第413号)では、原則として面積の計算に座標法を使用することを規定している。
 
この式は[[グリーンの定理]]の特別な場合とみなすことが出来る。a≦t≦bで媒介変数表示された単一閉曲線(x(t),y(t))で囲まれる領域の面積は
 
:<math>S=\frac{1}{2}\left|\int_{a}^{b}\left(x(t)y'(t)-x'(t)y(t)\right)\,dt\right|</math>
 
==例==
*三角形の面積 <math>\tfrac{1}{2}\left|x_1y_2-x_2y_1+x_2y_3-x_3y_2+x_3y_1-x_1y_3\right|</math>
*四角形の面積 <math>\tfrac{1}{2}\left|x_1y_2-x_2y_1+x_2y_3-x_3y_2+x_3y_4-x_4y_3+x_4y_1-x_1y_4\right|</math>
*五角形の面積 <math>\tfrac{1}{2}\left|x_1y_2-x_2y_1+x_2y_3-x_3y_2+x_3y_4-x_4y_3+x_4y_5-x_5y_4+x_5y_1-x_1y_5\right|</math>
 
== 関連項目 ==
* [[三斜法]]
* [[平面直角座標系]]
* [[グリーンの定理]]
* [[プラニメータ]]
 
{{DEFAULTSORT:さひようほう}}
[[Category:面積]]
[[Category:多角形]]
[[Category:アルゴリズム]]
 
[[en:Shoelace formula]]
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