「ホモロジカルミラー対称性予想」の版間の差分

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'''ホモロジカルミラー対称性'''は、[[マキシム・コンツェビッチ]]により予想された[[数学]]的な[[予想]]です.物理学者[[弦理論]]を研究することによりめて観察された[[ミラー対称性 (弦理論)]]と呼ばれる現象の数学的系統的な説明求められいます
 
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==歴史==
 
1994年の[[チューリッヒ]]での1994年の[[国際数学者会議{{仮リンク|International Congress of Mathematicians|en|International Congress of Mathematicians|label=(International Congress of Mathematicians)}}]]の報告で、コンツェビッチは次のような予想をした.[[カラビ-ヤウ多様体]]のペア ''X'' と ''Y'' のミラー対称性、[[代数多様体]] ''X'' から構成された三角圏{{仮リンク|triangulated category三角圏|en|triangulated category|label=(triangulated category)}} (''X'' 上の連接層{{仮リンク|coherent sheaf連接層|en|coherent sheaf|label=(coherent sheaf)}}の導来圏{{仮リンク|derived category導来圏|en|derived category|label=(derived category)}})もう一つの ''Y'' の[[シンプレクティック多様体]]から構成される三角圏(導出された深谷圏{{仮リンク|Fukaya category深谷圏|en|Fukaya category|label=(Fukaya category)}})の同値性として説明されるのではないかという予想のことを言います.
 
[[エドワード・ウィッテン]]は、最初にN=(2,2)の超対称性場の理論を位相的ツイストしてすることで位相的弦理論{{仮リンク|topological string theory位相的弦理論|en|topological string theory|label=(topological string theory)}}のAモデルとBモデルと呼ばれるものとしてモデルを記述しました.これらのモデルは、リーマン面から固定された対象空間-普通はカラビ-ヤウ多様体である固定された対象空間上への写像と考えられまに関係.数学でのミラー対称性予想の多くは、''Y'' 上のA-モデル''Y'' と ''X'' 上のB-モデルの物理的な同値関係へ埋め込まれますとみなせる.リーマン面が境界を持たない場合は、ワールドシートが閉じた弦を表します.開いた弦を再現するためついては、超対称性を保存する境界条件を導入する必要があります.A-モデルでは、これらの境界条件はある付として追加された構造(ブレーン構造と言います)を持った ''Y'' 上の{{仮リンク|ラグランラジアン部分多様体{{仮リンク|Lagrangian submanifold|en|Lagrangian submanifold|label=(Lagrangian submanifold)}}という形式から導出されます.B-モデルは、境界条件として ''X'' の上の正則(もしくは代数的)べクトルバンドルを持つ部分多様体の形式から導出されます.これらは適当な[[圏論|圏]]を形成すときに使う対象です.これらのことをそれぞれAブレーンやBブレーンということもあります.圏のモルフィズム(morphism)は2つのブレーンの間に張られた開いた弦の無質量なスペクトルにより与えられます
 
A-モデルとB-モデルの閉じた弦は、単いわゆる弦理論の全体の一部(トポロジカルセクター - 全弦理論の小さい一部してとらえられす.同様に、これらのモデルのブレーン構造は、単に[[D-ブレーン[[D-brane]]たちの全という力学的対象全体の位相的な近似です.そうだ考えられる.しかても、弦理論のこの小さな部分から出てくる数学的結果することは深く、また難しい問題です
 
==例==
この予想を数学者が評価することのでき証明している例は、ですありますさほど多くない.コンツェビッチがセミナーで指摘したように、ホモロジカルミラー対称性予想を、[[楕円曲線]]の場合には[[テータ函数]]を使うことで証明できるのではないでしょあろ.この導き指摘に従い、{{仮リンク|アレクサンダー・ポリスチュック{{仮リン|Alexander Polishchuk|en|Alexander Polishchuk|label=(Alexander Polishchuk)}} {{仮リンク|エリック・ザスロフ{{仮リンク|Eric Zaslow|en|Eric Zaslow|label=(Eric Zaslow)}}は楕円曲線についてのこの予想のバージョンの証明をしました.[[深谷賢治]]は、{{仮リンク|Kenji Fukaya|en|Kenji Fukaya|label=(Kenji Fukaya)}}は、アーベル多様体{{仮リンク|abelian variety|en|abelian variety|label=(abelian variety)}}についてのこの予想を証明する要素たちのいくつかを確立するを可能としました.その後、{{仮リンク|ヤン・ソイベルマン{{仮リンク|Yan Soibelman|en|Yan Soibelman|label=(Yan Soibelman)}}は、SYZ予想{{仮リンク|SYZ conjecture予想|en|SYZ conjecture|label=(SYZ conjecture)}}から来るアイデアを使い、[[代数多様体#アフィン代数多様体の座標環とヒルベルトの零点定理|アフィン多様体]]上の非特異な{{仮リンク|トーラスバンドル{{仮リンク|torus bundle|en|torus bundle|label=(torus bundle)}}についての予想の大半を証明しました.2003年に、{{仮リンク|ポール・ザイデル{{仮リンク|Paul Seidel|en|Paul Seidel|label=(Paul Seidel)}}は二次曲面{{仮リンク|quartic surface四次曲面|en|quartic surface|label=(quartic surface)}}の場合の予想を証明しました.{{harvtxt|Hausel|Thaddeus|2002}}は、SYZ予想の素描をHitchin、[[ヒッチン]]Langlands{{仮リンク|ラングランズ双対性|en|Langlands program}}の脈絡で説明しました.
 
==ホッジ(Hodge)ダイアモンド==
下の図のダイアモンドは、「ホッジダイアモンド」と呼ばれ、''(p,q)''-[[微分形式]]の空間の次元 ''h''<sup>p,q</sup> 座標を ''(p,q)'' として並べたもので、ダイアモンドの形となります.p=0,1,2, q=0,1,2 つまり、2-次元の場合には、
 
''h''<sup>2,2</sup>
''h''<sup>0,0</sup>
 
となります
 
K3曲面{{仮リンク|K3 surface曲面|en|K3 surface|label=(K3 surface)}}の場合には、2-次元のカラビ-ヤウ多様体とみなすことができますが、ベッチ数{{仮リンク|Betti numberベッチ数|en|Betti number|label=(Betti number)}}たちが、''{1, 0, 22, 0, 1}''であるから、K3曲面のホッジダイアモンドは次の図のようになります
 
''1''
''1''
 
ところで、3-次元の場合には、面白いことが起きます.ホッジダイアモンドが対角線(斜め線)を中心として対称なホッジ数を持つペア ''M'' and ''W'' が存在することがあるのです
 
''M''のダイアモンド:
''1''
 
この場合には、''M'' と ''W'' は[[弦理論]]のA-モデルとB-modelに対応していまなお、ミラー対称性は、ホモロジカルな次元を入れ替えるだけでなく、ミラーペアの上の[[シンプレクティック幾何学多様体|シンプレクティック構造]] 複素構造[[複素多様体|複素構造]]を入れ替えます.これがホモロジカルミラー対称性の起源です
 
==以下も参照==
13,687

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