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1行目: {{出典の明記\|date=2012年4月11日 (水) 07:52 (UTC)}} '''トモグラフィー'''（{{Lang-en-short\|tomography}}）~~は、[[物理探査]]、[[医療診断]]等で用いられる逆解析技術の一つ。[[日本語]]訳は、'''断層映像法'''または'''断層影像法'''である。~~ <ref name=”Akarin”> [[Avinash Kak]] & Malcolm Slaney (1988), Principles of Computerized Tomographic Imaging, IEEE Press, ISBN 0-87942-198-3. [http://www.slaney.org/pct/pct-toc.html] </ref> <ref name=”sinohara”> Excelによる画像再構成入門 (画像再構成シリーズ) [単行本] 篠原広行 (著) , 坂口和也 (著) , 橋本雄幸 (著) 「Excelによる画像再構成入門 (画像再構成シリーズ)」医療科学社 (2007/9/6) [http://www.iryokagaku.co.jp/frame/03-honwosagasu/373/373_3-9.pdf] </ref> <ref name=”saito”> 斎藤恒雄「画像処理アルゴリズム (アルゴリズム・シリーズ)」近代科学社(1993/2) </ref> <ref name=”web”> フーリエ解析（13）：フーリエ変換の医療分野への応用例 [http://www.enjoy.ne.jp/~k-ichikawa/Fourier13.html] </ref> <ref name=”patent”> US4,115,698 [http://www.google.com/patents/US4115698] </ref> は、[[物理探査]]、[[医療診断]]等で用いられる逆解析技術の一つ。[[日本語]]訳は、'''断層映像法'''または'''断層影像法'''である。その多くは、対象領域を取り囲む形で、[[走査線]]（線源と検出器）を配置し、内部の[[物性]]（[[音速]]、[[比抵抗]]、音響[[インピーダンス]]、[[密度]]など）の分布を調べる[[技術]]である。評価したい対象物によって、[[コンピュータ断層撮影\|X線CT]]、[[地震波トモグラフィー]]、[[海洋音響トモグラフィー]]などと呼ばれている。 ==トモグラフィーの数学的基礎== 被写体のx-y断面を考える。トモグラフィーの数学的な基礎はラドン変換と、ラドン逆変換である。ここではトモグラフィーを理解するのに必要最小限の事柄を解説する<ref group="注釈">厳密にいうと、ファンビームの場合のラドン変換を用いることが多いが。さしあたり、基本的な平行ビームの場合を扱う。</ref>。 [[Image:Tomographic_fig1.png\|thumb\|Figure 1: 33 ⟶ 56行目: そのうえで、 ①測定結果、即ち透過光によって得られた像のシリーズが、<math>\mu(x,y)</math>のにラドン変換を施すことで得られた関数<math>p(s,\theta)</math>として表現される(モデル化される)こと<br> ②測定結果にラドン逆変換を施すことで、<math>\mu(x,y)</math>が復元されること。 41 ⟶ 64行目: 被写体を光線が透過した際に、透過光がどれだけ減衰するかを考えることで、上記のラドン変換が導出される。以下、その導出を行う。ラドン変換を考える際、光線は[[幾何光学]]的な光を考える。即ち、光線は、極めて直進性がよく、[[吸収]]はされるが、[[回折]]や[[散乱]]をしないと考え、さらに[[反射]]をもしないと考えてよいとする。例えばX線を、人体に透過させる場合には、このように考えて差しさわりない。幾何光学において、光線は直線で表される。光線の軌跡が、x-y断面上の直線<math>l</math>で表される場合について考える。 81 ⟶ 104行目: </math> となる。今、上式において、sとθを固定すると、上式は、tを変数とする直線と見做せる。~~即ち、x-y平面に対し、角度θをなす光束は、以下の<math>{l}_{[\theta,s]}(t)</math>~~ ~~で定まる直線を、すべてのsにわたって集めてきたものと考えられる。~~ :<math> ~~:<math>{l}_{[\theta,s]}(t) =\begin{bmatrix}~~ \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = ~~s\cos \theta -t\sin \theta \\~~ = ~~s\sin \theta + t\cos \theta \\~~ = t \begin{bmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} s\cos \theta \\ s\sin \theta \\ \end{bmatrix} </math> のように書くと、より直線らしく見えるであろう。即ち、x-y平面に対し、角度θをなす光束は、以下の<math>{l}_{[\theta,s]}(t)</math>で定まる直線を、すべてのsにわたって集めてきたものと考えられる。 :<math>{l}_{[\theta,s]}(t) = \begin{bmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} s\cos \theta \\ s\sin \theta \\ \end{bmatrix}</math> さらに、光線<math>{l}_{[\theta,s]}(t)</math>による吸光量を、<math>p(s,\theta)</math>と書くと、 :<math>p(s,\theta) = -{\int}_{-\infty}^{\infty}\mu(s\cos \theta -t\sin \theta,s\sin \theta + t\cos \theta )\,dt</math> が成り立つ。 111 ⟶ 154行目: である。先の<math>\hat{\mu}(u,v)</math>と、<math>\mu(x,y)</math>に対し、以下の等式が成立する。これを、フーリエ逆変換と呼ぶ。 : <math> {\mu}(ux,vy)=\frac{1}{4{\pi}^{2}}{\int}_{-\infty}^{\infty}{\int}_{-\infty}^{\infty}\hat{\mu}(u,v)exp(i(xu+yv))dudv</math> 即ち、関数をフーリエ変換した後、フーリエ逆変換すれば、元の関数に戻る。 ===ラドン逆変換=== 実測された<math>p(s,\theta)</math>から、今度は<math>\mu(x,y)</math>を復元することを考える。この復元操作は、数学的におこなわれる。 122 ⟶ 165行目: :<math>\tilde{p}(r,\theta) ={\int}_{s = -\infty}^{s = \infty} p(s,\theta)\exp(isr)ds </math> とする。今当たり前のことだが、この<math>\tilde{p}(sr,\theta)</math>のは、<math>\hat{p}(u,v)</math>とは別物である。そもそも定義~~式、即ち、~~が異なる。今、<math>p(s,\theta)</math>の定義式、即ち、 :<math>p(s,\theta) = {\int}_{t = -\infty}^{t = \infty}\mu(s\cos \theta -t\sin \theta,s\sin \theta + t\cos \theta )\,dt</math> を、上式に代入すると、 138 ⟶ 183行目: である。今、2変数ベクトル値関数<math>{\varphi}_{\theta}(x,y)</math>と、<math>{\psi}_{\theta}(s,t)</math>を、それぞれ、 :<math>{\varphi}_{\theta}(x,y) \begin{bmatrix} s(x,y)\\ t(x,y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} </math> :<math>{\psi }_{\theta}(s,t) \begin{bmatrix} s(x,y)\\ t(x,y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s \\ t \end{bmatrix} </math> と定めると、明らかに、 :<math>{\psi}_{\theta}({\varphi}_{\theta})(x,y) =(x,y)</math> である。さらに、 :<math> \mu(s\cos \theta -t\sin \theta,s\sin \theta + t\cos \theta ) =\mu({\varphi}_{\theta}(s,t)) </math> である。従って、 :<math>\tilde{p}(r,\theta) :<math>={\int}_{-\infty}^{\infty} {\int}_{-\infty}^{\infty}\mu( ({\varphi}_{\theta}(s,t))) \exp(isr) \,dt ds </math><br> である。さらに、上式を、 :<math> dtds=\|J{\varphi}_{\theta}\|dxdy = dxdy </math> :<math> \exp(isr) =\exp(i r(x\cos \theta + -y\sin \theta) ) =\exp(i <r(\cos \theta , -\sin \theta) \| (x,y) >) </math> に注意して積分の変数変換を施すと、 :<math>\tilde{p}(r,\theta)</math> :<math>={\int}_{-\infty}^{\infty} {\int}_{-\infty}^{\infty}\mu({\psi}_{\theta}({\varphi}_{\theta})(x,y))) \exp(i <r(\cos \theta , -\sin \theta) \| (x,y) >)\|J{\varphi}_{\theta}\| \,dx dy </math><br> :<math>={\int}_{-\infty}^{\infty} {\int}_{-\infty}^{\infty}\mu(x,y)) \exp(i <r(\cos \theta , -\sin \theta) \| (x,y) >) \,dx dy </math><br> 一方で、 :<math>\hat{\mu}(u,v)={\int}_{-\infty}^{\infty}{\int}_{-\infty}^{\infty}\mu(x,y)exp(i(ux+vy))dxdy</math> の、(u,v) に　<math> (r \cos \theta , - r \sin \theta) </math>を代入すると、 : <math>\hat{\mu} ((r \cos \theta , - r \sin \theta))= </math> :<math>={\int}_{-\infty}^{\infty} {\int}_{-\infty}^{\infty}\mu(x,y)) \exp(i <r(\cos \theta , -\sin \theta) \| (x,y) >) \,dx dy </math><br> 従って、 :<math>\tilde{p}(r,\theta)　= \hat{\mu} ((r \cos \theta , - r \sin \theta))</math> が判る。 == 脚注 == <references group="注釈"/> ~~<!--~~ == 脚注参考文献 == <references group="注釈"/> ~~{{脚注ヘルプ}}~~ ~~{{Reflist}} -->~~ ~~<!-- == 参考文献 == {{Cite book}}、{{Cite journal}} -->~~ == 関連項目 == ~~<!-- {{Commonscat\|Tomography}} -->~~ [[コンピュータ断層撮影]]

「トモグラフィー」の版間の差分