「非有界作用素」の版間の差分

[[数学]]の、特に[[関数解析]]や[[作用素論]]の分野における'''非有界作用素'''（ひゆうかいさようそ、{{Lang-en|''unbounded operator''}}）は、位相線形空間のあいだの線形写像で不連続であること・全体では定義されていないことを許したようなものである。[[幾何学]]における[[微分作用素]]や[[量子力学]]における非有界[[オブザーバブル]]などを扱うための抽象的な基盤礎付けを構築すあたえるものであに用いられる。

ここで「非有界作用素」という語は誤解を招く恐れがある。実際に意味するところは、

* そのような線形部分空間定義域は必ずしも閉ではない; それはしばしば（常にではないが）稠密であると仮定される;

[[有界作用素]]の場合と異なり、非有界作用素は代数や線形空間を構成することは無い。なぜならばそ個々のような作用素は各々のが異なった定義域上で定義されを持ちうるからため、非有界作用素同士の和や合成がいつであるも意味を持つわけではない。

「作用素」という語はしばしば「有界線形作用素」を意味するが、この記事の文脈では「非有界作用素」を表すこととする（ここで上述の注意点に留意されたい）。与えられた以下の解説では主に[[バナッハ空間は]]や[[ヒルベルト空間]]であると仮定の間の非有界作用素について説明する。[[バナッハ空間]]やが、ほとんどの構成を適切な形に修正してより一般的な[[位相ベクトル空間]]へのと一般化も可能となする場合ことがあできる。

''B''₁ および ''B''₂ を[[バナッハ空間]]とする。'''非有界作用素'''（あるいは単純に、''作用素''）{{nowrap|''T''&thinsp;: ''B''₁ → ''B''₂}} とは、''B''₁ の線形部分空間 ''D''(''T'') （すなわち、''T'' の定義域）から空間 ''B''₂ への[[線形写像]] ''T'' のことである<ref name="Pedersen-5.1.1">{{harvnb|Pedersen|1989|loc=5.1.1}}</ref>。通例有界線形作用素の場合とは異なり、ここでは ''T'' は全空間 ''B''₁ 上で定義されない場合も考慮する。二つの作用素が等しいとは、それらが共通の定義域を持ち、その定義域上で同一のものであることを意味する。

作用素 ''T'' に対して、もしその[[グラフ (関数)|グラフ]] Γ(''T'') が[[閉集合]]であるなら、''T'' は[[閉作用素|閉]]であると言われる<ref name="Pedersen-5.1.4">{{ harvnb |Pedersen|1989| loc=5.1.4 }}</ref>（ここで、グラフ Γ(''T'') は[[直和]] {{nowrap|''B''₁ ⊕ ''B''₂}} の線形部分空間で、ベクトル ''x'' を''T'' の定義域内の ''x'' にで動かして得られる対するすべてのペア {{nowrap|(''x'', ''Tx'')}} 全てからなる集合である）。陽的一般に表現すると、こ直和上のことは、''T'' の定義域に含まれる点からなる数列 (''xl<subsup>n1</subsup>'') で、ある ''x'' 和ノルムの）グラフへと収束し、また ''Tx_n'' の制限はある ''y'' へグラフノルムと収束す呼ばれるようなすべての数列 (''x_n'') に対しが、''x'' は ''T'' の定義域に含まれ、{{nowrap|''Tx'' {{=}} ''y''}}が成立す閉作用素であるということを意味する<ref name="Pedersen-5.1.4"/>。そのような閉性（closedness）は、グラフノルムを用いて次のように表すことも出来ができる: ある作用素 ''T'' が閉であることと、その定義域 ''D''(''T'') がノルム

について[[完備距離空間|完備空間]]であることは必要十分同値な条件である<ref name="BSU-5">{{ harvnb |Berezansky|Sheftel|Us|1996| loc=page 5 }}</ref>。このことを具体的に言い表すと、''T'' の定義域に含まれる点からなる列 (''x_n'') で、''B''₁のベクトル ''x'' へと収束し、また ''Tx_n'' が''B''₂のベクトル ''y'' へと収束するようなものがあったとき、''x'' は ''T'' の定義域に含まれ、{{nowrap|''Tx'' {{=}} ''y''}}が成立する、ということになる<ref name="Pedersen-5.1.4"/>。

作用素 ''T'' はその定義域が ''B''₁ において[[稠密集合|稠密]]であるとき'''[[稠密に定義された作用素|稠密に定義されている]]'''と言われる<ref name="Pedersen-5.1.1" />。 これは全空間 ''B''₁ 上で定義される作用素も含む。なぜならば全空間はそれ自身において稠密であるからである。定義域の稠密性は、その作用素の共役（adjoint）および・転置（transpose）の存在のための必要十分条件である。また、''S''と''T''について''D''(''S'') &sub; ''D''(''T'')かつ''T''|_''D''(''S'') = ''S'' が成り立つとき''S''は''T''に'''含まれる'''（''S'' &sub; ''T''）という。

この作用素は稠密に定義されておりいるが、折れ線をグラフとするような区分線形関数とその微分の対などがグラフの閉包に含まれるため、閉作用素ではない。

多C¹級関数の空間をふくのむ様々なバナッハ空間 ''B'' に対して、有界とはならないような同様の作用素 ''B''&nbsp;→&nbsp;''B'' が考えられる。しかしながら、いくつかのペア ''B''₁ および と連続関数の空間を含むバナッハ空間''B''₂ に対しては、上記のように微分を非有界作用素 ''B''₁&nbsp;→&nbsp;''B''₂ の作用素として有界考えることなができる。いくつかの位相ベクトさらに、ノル空間 ''B'' ムの選び方に対しよっても同様であはこの構成から有界作用素が得られる。一例たとしてえば、ある開区間 定義域ではC<mathsup>I \subset \mathbb{R}1</mathsup> と、ノルムが自身 <math>\| f \|_{\mathcal{C}^1} = \| f \|_{\infty} + \| f' \|_{\infty}</math> を考え、値域であるようはsupノルムを考えれば、微分は連続写像にな空間 <math>\mathcal{C}^1</math> に対する作用素 <math>T : ( \mathcal{C}^1 ( I ), \| \cdot \|_{\mathcal{C}^1} ) \rightarrow ( \mathcal{C}^0 ( I。

非有界作用素の共役（adjoint）の定義には、二つの同値な方法によって定義されがある。

一つ目として、有界作用素の共役を定義するときに用いられるものと同様な方法がある。すなわち、''T'' の共役 ''T''^∗&nbsp;:&nbsp;''H''₂&nbsp;→&nbsp;''H''₁ は、次の性質を持つような最大の作用素として定義される:

より正確に、''T''^∗ を次のようにり正確な定義は以下のようにすることが出来る。もしもベクトル''y'' が、<math>x \mapsto \langle Tx, y \rangle</math> が ''T'' の定義域上の連続線形汎関数となるようなものであるならば、それこの汎関数を{{仮リンク|ハーン<!--バナッハの定理|en|Hahn–Banach theorem}}によってD(T)の閉包上のRieszで充分-->全空間へと拡張したのち、

を満たすような ''z'' を見つけることが可能である。なぜならば、ヒルベルト空間上の双対（dual）は、その内積により与えられる線型汎関数からなるの集合は、内積によって定められもとの空間自身と同一視できるからである。各このような ''y'' それぞれに対して、上の条件を満たす''z'' が一意に定められることと、その対応する線型汎関数が稠密に定義されていること、すなわち ''T'' が稠密に定義されていることは必要十分である。最後にこのとき、''T''^∗''y'' = ''z'' とすることによって、''T''^∗ の導出は完了する<ref>''T''^∗ が線形自明（linear trivial）であ定められる。ことの確認。</ref>。ようにして''T''^∗ の値が存在することひとつに定まるためには、''T'' が稠密に定義されていることはが必要十分であることに注意されたい。

証明: 閉であるため、至る所定義されている ''T''^∗ は有界である。これは''T'' を含む ''T''^∗∗ の有界性を意味し、''T'' の閉包である導く。至る所定義されている ''T'' の場合として、{{ harv |Pedersen|1989| loc=2.3.11 }} を参照されたい</ref>。もし ''T''^∗ の定義域が稠密であるなら、それには共役 ''T''^∗∗ が存在する<ref name="Pedersen-5.1.5" />。稠密に定義された閉作用素 ''T'' が有界であることの必要十分条件は、''T''^∗ が有界であることである<ref>

共役作用素のもう一つの同値な定義は、一般的な事実に注意すグラフの直交空間を取ることにより得られる。線形作用素 <math>J: H_1 \oplus H_2 \to H_2 \oplus H_1</math> を、<math>J(x \oplus y) = -y \oplus x</math> によって定義する<ref name="Pedersen-5.1.5">{{ harvnb |Pedersen|1989| loc=5.1.5 }}</ref>（<math>J</math> は等長な全射であるため、ユニタリである）。すると、 <math>J(\Gamma (T))^\bot</math> がある作用素 ''S'' のグラフであることの必要十分条件は、 <math>T</math> が稠密に定義されていること、であることが分かる<ref name="BSU-12">{{ harvnb |Berezansky|Sheftel|Us|1996| loc=page 12 }}</ref>。簡単な計算により、この作用素 ''S'' は <math>\langle Tx \mid y \rangle_2 = \langle x \mid Sy \rangle_1</math> を、''T'' の定義域内のすべての ''x'' に対して満たすことが分かる。したがって、''S'' は ''T'' の共役である。

上の定義により、共役 ''T''^∗ は閉であることがただちに分かる<ref name="Pedersen-5.1.5" />。特に、自己共役作用素（すなわち、''T'' = ''T''^∗）は閉である。ある作用素 ''T'' が稠密に定義された閉作用素であるための必要十分条件は、''T''^∗∗が存在して''T''^∗∗ = ''T'' が成立することである<ref>証明: もし ''T'' が稠密に定義された閉作用素であるなら、''T''^∗ は存在し、稠密に定義されている。したがって、''T''^∗∗ が存在する。''T'' のグラフは ''T''^∗∗ のグラフにおいて稠密であるため、''T'' = ''T''^∗∗ が成立する。逆を考える。''T''^∗∗ の存在は ''T''^∗ の存在を意味し、これは ''T'' が稠密に定義されていることを意味する。''T''^∗∗ は閉であるため、''T'' は稠密に定義された閉作用素である。</ref>。

:<math>\forall f \in D(T^*) \colon \|f\|_2 \le K\|T^*f\|_1</math> for every <math>f \in D(T^*)</math>　

と書ける。<ref>もし ''T'' が全射であるなら、<math>T: (\operatorname{ker}T)^\bot \to H_2</math> は有界な逆を持つ。それを ''S'' と表す。そうすると、求める不等式は成立する。なぜならば