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{{otheruses|連続体|データ圧縮|非圧縮}}
{{wikify|date=2011年3月}}
{{連続体力学}}
[[連続体力学]]における'''非圧縮性'''({{lang-en|incompressibility}})とは、連続体の[[密度]]が変形の前後で変化しないような性質を表す。連続体力学では[[質量保存則]]を考えるため、密度が一定であるならば体積も一定となる。非圧縮性を有する材料として、流体では河川を流れる水や[[音速]]を超えない範囲で運動している空気が挙げられる。これらを総称して、'''非圧縮性流体'''と呼んでいる。一方で、固体の場合は、ゴムに代表される[[超弾性体]]や降伏した金属などのような[[塑性体]]が挙げられる。
== 非圧縮性の定式化 ==
[[ファイル:Deformation.png|400px|right|thumb|図1.連続体の変形]]
連続体力学では、次に示す[[
{{indent|<math>
d \boldsymbol{x} = \boldsymbol{F} d\boldsymbol{X},
</math>}}
ここで、<math>\boldsymbol{x}</math>は
さらに[[体積変化率]]<math>J</math>と
{{indent|<math>
J = \frac{dv}{dV} = \det(\boldsymbol{F})
</math>}}
ここで、<math>dv</math>は
{{indent|<math>
J = \det(\boldsymbol{F}) = 1
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非圧縮性流体の基礎式のひとつに、次に示す[[連続の式]]がある。
{{indent|<math>
\mathrm{div}\,
</math>}}
これは、[[質量保存則]]
▲これは、[[質量保存則]]に密度が一定であることを利用して導き出されるが、次のように[[体積変化率]]<math>J</math>の[[連続体力学の基礎|物質時間微分]](物質時間導関数)を考えることでも導き出される。
{{indent|<math>
\frac{D J}{D t} = J \mathrm{div}\,
</math>}}
▲上式に<math>J = 1</math>と<math>\frac{D J}{D t} = 0</math>を代入することで、結局[[連続の式]]が得られる。
==固体力学との関連性==
固体力学において、[[体積ひずみ]]という概念がある。ここでは、体積ひずみ<math>\epsilon_V</math>と[[体積変化率]]<math>J</math>との関連性について述べ、非圧縮性のもとで体積ひずみが0となることを示す。
{{indent|<math>
\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \boldsymbol{H},\quad F_{ij} = \delta_{ij} + H_{ij}
</math>}}
▲ここで、[[連続体力学の基礎|変形勾配]]<math>\boldsymbol{H}</math>は
{{indent|<math>
d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{H} d\boldsymbol{X},\quad H_{ij} = \frac{\partial u_i}{\partial X_j}
</math>}}
である。<math>\boldsymbol{u}</math>は変位を表す。
{{indent|<math>
\boldsymbol{F} = \begin{pmatrix}
61 ⟶ 53行目:
\end{pmatrix}
</math>}}
▲ここで、[[体積変化率]]<math>J</math>を[[連続体力学の基礎|変位勾配]]の成分<math>H_{ij}</math>で表すと、下の式を得る。
{{indent|<math>
J = \det(F)
73 ⟶ 64行目:
</math>}}
ここで、<math>H^{(2)}</math> および <math>H^{(3)}</math>は
{{indent|<math>
H_{11} + H_{22} + H_{33} + H^{(2)} + H^{(3)} = 0
96 ⟶ 87行目:
上記のように、非圧縮性から体積ひずみが0となることが示された。
== 関連項目 ==
* [[圧縮性]]
== 参考文献 ==
102 ⟶ 96行目:
{{デフォルトソート:ひあつしゆくせい}}
[[Category:力学]]
[[Category:流体力学]]
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