「斜交座標系」の版間の差分

座標変換、内積
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(座標変換、内積)
== 2次元平面における斜交座標系 ==
 
2本の[[数直線]]''x'' ''y'' が定点Oを共通の[[原点]]として、なす角θθ ≠ 0°,90°,180°で交わっているとき、その座標系はx軸、y軸からなる斜交座標となる。
座標平面上の全ての点Pは、その点からx軸、y軸に関して[[平行]]線をひくことにより、P(a, b)と一意に表すことができる。
逆にある座標P(a,b)が与えられれば、Pの座標平面上の位置は一意に決定される。
 
なお、2本の軸のなす角θθθθ = 90°のときは直交座標系となる。
 
== 直交座標系との座標変換 ==
斜交座標系でP(a, b)と表されている点を直交座標(a', b')に[[座標変換]]する公式は以下である:
: <math>\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&\cos\theta\\0&\sin\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}</math>
 
== 内積 ==
直交座標系の場合は、2つの[[ベクトル]]<math>\vec{u}=(u_1, u_2), \vec{v}=(v_1, v_2)</math>の[[内積]]はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる:
: <math>\begin{align}\vec{u}\cdot\vec{v} &= u_1u_2+(u_1v_2+u_2v_1)\cos\theta+v_1v_2\\
&= \begin{pmatrix}u_1&u_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&\cos\theta\\\cos\theta&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}\end{align}</math>
 
ここで右辺に現れる行列は、[[計量テンソル]]に一般化される。
 
== 関連項目 ==
*[[極座標系]]
 
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