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'''abc予想'''(別名Oesterlé–Masser予想)は、[[1985年]]にJoseph OesterléとDavid Masserによって提起された[[数論]]の予想である。これは[[多項式]]に関する{{仮リンク|Mason=Stothersの定理|en|Mason–Stothers theorem}}の[[整数]]における類似であり、互いに素でありかつ a + b = c を満たすような三つの[[正の整数]](この予想に呼び方を合わせるとa, b,c) c)について述べている。
 
abc予想は、この予想から数々の興味深い結果が得られることから有名になった。数論における数多の有名な予想や定理が abc予想から直ちに導かれる。{{harvtxt|Goldfeld|1996}} は、abc予想を「[[ディオファントス方程式|ディオファントス解析]]で最も重要な未解決問題」であるとしている。
 
[[2012年]][[8月]]、[[京都大学]][[教授]]の[[望月新一]]は abc 予想を証明したとする[[論文]]を発表した。望月によると証明に用いた[[理論]]は{{仮リンク|宇宙際Teichmüller理論|en|inter-universal Teichmüller theory}}に基づいており、他にも{{仮リンク|Szpiro予想|en|Szpiro's conjecture}}と{{仮リンク|Vojta予想|en|Vojta's conjecture}}の証明などが得られるという<ref name="Mochizuki2012d">{{Cite paper|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf |title=Inter-universal Teichmüller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations. |first=Shinichi |last=Mochizuki |format=PDF |work=Working Paper |date=2012-08-30 |accessdate=2012-09-18}}</ref><ref>{{citation|url=http://www.nature.com/news/proof-claimed-for-deep-connection-between-primes-1.11378|title=Proof claimed for deep connection between primes|journal=[[Nature (journal)|Nature]]|date=10 September 2012|first=Phillip|last=Ball|authorlink=Philip Ball}}.</ref><ref>{{citation|title=ABC Proof Could Be Mathematical Jackpot|journal=[[Science (journal)|Science]]|first=Barry|last=Cipra|url=http://news.sciencemag.org/sciencenow/2012/09/abc-conjecture.html|date=September 12, 2012}}</ref>。
 
== 定式化 ==
正の整数 ''n'' について、''n'' の互いに異なる素因数の積を ''n'' の'''根基''' (radical) と呼び、rad(''n'') と書く。以下に例を挙げる。
* rad(16) = rad(2<sup>4</sup>) = 2,
* rad(17) = 17,
* rad(18) = rad(2·3<sup>2</sup>) = 2·3 = 6.
 
[[自然数]]の三つ組 (a, b, c) で, a + b = c, a < b,で a と b は互いに素 (coprime) を満たすものを abc-triple と呼ぶ。
 
事実 : rad(abc) < c を満たす abc-triple は無限個ある。 (a, b, c) = (1, 64<sup>n</sup> - 1, 64<sup>n</sup>) はこれを満たす。
 
予想 : abc-triple (a, b, c) の全てが c < rad(abc)<sup>2</sup> を満たす。
 
(関連する) Beal)Beal 予想 : p, q, r が3 以上の自然数の時, x<sup>p</sup> + y<sup>q</sup> = z<sup>r</sup> を満たし、どの二つも互いに素であるような自然数 x, y, z は存在しない([[互いに素]]でないならば(共通の[[約数]]を持つならば)2<sup>3</sup> + 2<sup>3</sup> = 2<sup>4</sup> という[[反例]]がある)。
どの二つも互いに素であるような自然数 x, y, z は存在しない。
([[互いに素]]でないならば(共通の[[約数]]を持つならば) 2<sup>3</sup> + 2<sup>3</sup> = 2<sup>4</sup> という[[反例]]がある)
 
Oesterlé, Masser の abc 予想: 実数 κ > 1 を任意に取って固定する。 abc-triple (a, b, c) は,、有限個の例外を除き、全てが c < rad(abc)<sup>κ</sup> を満たす。
有限個の例外を除き, 全てが c < rad(abc)<sup>κ</sup> を満たす。
 
κ = 1.6 の時3つの例外が知られていて (下に書いてあるκ は c = rad(abc)<sup>κ</sup> となるもの)<br />
 
(a, b, c, κ) = <br />
 
(2, 3<sup>10</sup>・109, 23<sup>5</sup>, 1.62991...),<br />
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である。
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== コンピューティングによる成果 ==
2006年、オランダの[[ライデン大学]]数学研究所は、さらなるabc-tripleを発見しようと、Kennislink科学協会と共に[[分散コンピューティング]]システムの[[ABC@home|ABC@Home]]プロジェクトを立ち上げた。たとえ発見された例または反例がabc予想を解決することができなくとも、このプロジェクトによって発見される組み合わせが、予想と整数論についての洞察につながることが期待されている
たとえ発見された例または反例がabc予想を解決することができなくとも、このプロジェクトによって発見される組み合わせが、予想と整数論についての洞察につながることが期待されている。
<br />
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== 証明 ==
[[2012年]][[8月30日]]、[[京都大学]]の[[望月新一]]がABC予想を証明する論文をインターネット上に公開した<ref name="Mochizuki2012d" /><ref>{{Cite web|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/news-japanese.html |title=望月新一の最新情報 |publisher=京都大学数理解析研究所望月研究室 |date=2012-08-30 |accessdate=2012-09-18}}</ref><ref name="Mochizuki2012a">{{Cite paper|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf |title=Inter-universal Teichmüller Theory I: Construction of Hodge Theaters. |first=Shinichi |last=Mochizuki |format=PDF |work=Working Paper |date=2012-08-30 |accessdate=2012-09-18}}</ref><ref name="Mochizuki2012b">{{Cite paper|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20II.pdf |title=Inter-universal Teichmüller Theory II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation. |first=Shinichi |last=Mochizuki |format=PDF |work=Working Paper |date=2012-08-30 |accessdate=2012-09-18}}</ref><ref name="Mochizuki2012c">{{Cite paper|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20III.pdf |title=Inter-universal Teichmüller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice. |first=Shinichi |last=Mochizuki |format=PDF |work=Working Paper |date=2012-08-30 |accessdate=2012-09-18}}</ref><ref name="Mochizuki2012d" />。[[イギリス]]の科学誌[[ネイチャー]]は、望月教授は新たな数学的手法を開発し、それを駆使して証明を展開しているため「[[査読]]に時間がかかるだろう」と報じた<ref name=nikkei20120918>{{Cite news|title=数学の難問「ABC予想」、京大教授が解明か |url=http://www.nikkei.com/article/DGXNASDG1805T_Y2A910C1000000/?dg=1 |publisher=
日本経済新聞 |agency=[[共同通信社]]|date=2012-09-18 |accessdate=2012-09-18}}</ref>。証明に350年程かかった[[フェルマーの最終定理]]も、ABC予想を使えば一気に証明が可能となる他、証明に用いた新たな手法(宇宙際Teichmüller理論)は他の整数論の問題を解く強力な道具になるとも期待されている<ref name=nikkei20120918 />。