「円周率の歴史」の版間の差分

→‎正多角形による評価の時代: +マーダバ +ニーラカンタ
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;[[1220年]]
:{{Flagicon|ITA}}'''[値]''' イタリアの[[レオナルド・フィボナッチ|フィボナッチ]]([[ピサのレオナルド]])が円周率を{{分数|864|275}}と計算した。これは、約 3.1418 である<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp.143-145, p.338.</ref>。
;[[1400年]]ごろ
:インド南西部(現在の[[ケーララ州]])では、14世紀以降、天文学・数学が花開き、当時の世界最先端の研究が行われた。ケーララ学派と総称される学者たちは、[[三角関数]]・逆三角関数(sin、cos、arctan)の[[マクローリン展開]]を天文計算に利用した<ref name="Untapped">
:{{Flagicon|IND}}'''[法]''' [[インド]]の[[マーダヴァ]]が無限級数
{{cite journal| first1=C. T.| last1=Rajagopal| first2=M. S.| last2=Rangachari| year=1978| title={{lang|en|On an Untapped Source of Medieval Keralese Mathematics}}| lang=英語| journal={{lang|en|Archive for the History of Exact Sciences}}| volume=18| issue=2| pages=89–102| url=http://www.springerlink.com/content/mnr38341u762u544| separator=,}}
: <math>{\pi \over 4} = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots </math>
</ref>。これらの[[無限級数]]は[[ニーラカンタ]]({{lang|sa-Latn|Nīlakaṇṭha}}, 1445頃–1545頃)の時代には知られており、ニーラカンタの発見とされることがある<ref name="Roy1990">
:を得る。これはのちに[[ライプニッツの公式]]と呼ばれるようになった<ref>[[#ジョーゼフ1996|ジョーゼフ 1996]]</ref>。
{{cite journal| first=Ranjan| last=Roy| year=1990| title={{lang|en|The Discovery of the Series Formula for π by Leibniz, Gregory and Nilakantha}}| lang=英語| journal={{lang|en|Mathematics Magazine}}| volume=63| issue=5| pages=291–306| url=http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Allendoerfer/1991/0025570x.di021167.02p0073q.pdf| format=PDF| separator=,}}
</ref><ref>
{{cite journal| first=Shailesh A| last=Shirali| year=1997| title={{lang|en|Nīlakaṇṭha, Euler and π}}| lang=英語| journal={{lang|en|Resonance}}| pages=29–43| url=http://www.ias.ac.in/resonance/May1997/pdf/May1997p29-43.pdf| format=PDF| separator=,}}
</ref>。しかし、ニーラカンタの天文学書『アールヤバティーヤ・バーシャ』<ref name="Bhasya">
『アールヤバティーヤ』({{lang|sa-Latn|Āryabhaṭīya}})は、天文学者[[アールヤバタ]](476–550)の著作(カタカナで書くとアーリャバタ、アーリャバティーヤだが、日本語ではアールヤバタ、アールヤバティーヤと呼ばれているのでそれに従う)。『アールヤバティーヤ・バーシャ』({{lang|sa-Latn|Āryabhaṭīya-bhāṣya}})は、約1000年後のニーラカンタが『アールヤバティーヤ』を解説したもの。
</ref>によると、sinの展開式は彼より前の時代の学者の業績であるという。その学者とは、サンガマグラーマ(現在のイリンジャラクダ)の[[マーダヴァ|マーダバ]]({{lang|sa-Latn|Mādhava}}, 1340頃–1415頃。[[マラヤーラム語]]名: マーダバン)である。以下の式も、マーダバの発見とされることが多い<ref name="Untapped"/><ref name="MacTutor-Madhava">
{{citation| first1={{lang|en|John J.}}| last1={{lang|en|O’Connor}}| first2={{lang|en|Edmund F.}}| last2={{lang|en|Robertson}}| year=2000| title={{lang|en|Madhava of Sangamagramma}}| work={{lang|en|MacTutor History of Mathematics archive}}| publisher=[[セント・アンドルーズ大学 (スコットランド)]]| url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Madhava.html| accessdate=2012-09-21| separator=,}}</ref>:
: :<math>{\piarctan \over 4}x = x \sum_{n=0}^{\infin}- \frac{(-1)x^n}{2n+1} = 1 - \frac{13}{3} + \frac{1x^5}{5} - \frac{1x^7}{7} + \frac{1}{9} - \cdots </math>
:この公式は、ヨーロッパでは1670年代に[[ジェームズ・グレゴリー]]と[[ゴットフリート・ライプニッツ]]により再発見され、一般的にはグレゴリー級数、[[ライプニッツの公式|ライプニッツ級数]]などと呼ばれる。
:'''[値]'''(10 ?) 一説に、マーダバは上式で <math>x</math> = {{Unicode|π}}/6 として得られる
::<math>\pi = \sqrt{12}\left(1-{1\over 3\cdot 3^1}+{1\over5\cdot 3^2}-{1\over7\cdot 3^3}+\cdots\right)</math>
:の21項を計算し、{{Unicode|π}} ≈ 3.14159 26535 9 を得た<ref name="MacTutor-Madhava"/>。これは小数点以下10桁目まで正しい(<small>12桁目を四捨五入した11桁の近似値としては全11桁が正しいが、11桁目「8」は未確定</small>)。別の資料によると、彼の近似値は 2,827,433,388,233/9×10<sup>−11</sup> で<ref>
{{cite journal| first=A. K.| last=Bag| year=1980| title={{lang|en|Indian Literature on Mathematics During 1400–1800 A.D.}}| lang=英語| journal={{lang|en|Indian Journal of History of Science}}| volume=15| issue=1| page=86| url=http://www.new.dli.ernet.in/rawdataupload/upload/insa/INSA_1/20005af2_79.pdf| format=PDF| separator=,}}
</ref>、3.14159 26535 92222… に当たる。マーダバが円周率10桁を得たとすると、祖沖之の7桁以来、約1000年ぶりの世界記録更新である。
:'''[法]''' ケーララ学派による円周率の近似は無限級数に基づくもので、剰余項も考察している。他地域ではこの200年後(ニーラカンタから数えても100年後)にまだ正多角形の外周に基づく計算をしていることを考えると、極めて先進的だった。円周率の計算法として新しいというだけでなく、無限や極限を扱う新しい数学への大きな一歩だった。
:上記の級数を30項まで使えば円周率の15桁が決定でき、42項まで使えば20桁が決定できる。この他にも、ケーララ学派は円周率の評価に利用できるいくつもの結果を得ており、その気になれば比較的簡単に円周率の桁数を伸ばせる立場にあった。実際、R. Guptaは、マーダバが約17桁まで計算したと予想している<ref>
{{citation| first=Ian| last=Pearce| year=2002| title={{lang|en|Madhava of Sangamagramma}}| work={{lang|en|Indian Mathematics: Redressing the balance}}| url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html| accessdate=2012-09-21| separator=,}}
</ref>。しかし、記録は見つかっておらず、現時点では想像の域を出ない。
;[[1424年]]
:'''[値]'''(16) ペルシャの天文学者・数学者ジャムシード・カーシャーニー(アラビア語名: [[アル・カーシー]])は、当時使われていた円周率の近似値の不正確さに不満を抱き、天文計算に必要十分な精度で円周と半径の比を決定したいと考えた。1424年の『円周論』<ref>
</ref>:
::6; 16,59,28,1,34,51,46,14,49,46 < 2{{Unicode|π}} < 6; 16,59,28,1,34,51,46,14,50,15
:ここで、6; 16,59…59,…は、6 + 16/60 + 59/60<sup>2</sup> + …を表す(<small>彼は後に計算を再検討して、下界の末尾の桁を46から45に改めたという</small><ref name="Hogendijk2009">
{{cite journal | first1={{lang|nl|Jan P.}} | last1={{lang|nl|Hogendijk}} | title={{lang|en|Al-Kāshī’s Determination of π to 16 Decimals in an Old Manuscript}} | journal={{lang|de|Zeitschrift für Geschichte der arabisch-islamischen Wissenschaften}} | volume=18 | year=2009 | pages=73–153 | url=http://www.jphogendijk.nl/publ/KashiZGAIW.pdf | format=PDF | language=英語 | separator=,}}
</ref>)。現代的な表記に直せば:
正確には、5×2{{Unicode|π}} の近似値31.41592…を小数第16位まで示した。
</ref>。これは小数点以下16桁目まで正しく、末尾の17桁目も真の値に近い。記録に残る当時最良の円周率の近似値であり、この世界記録は1596年にファン・コーレンが小数点以下20桁を示すまで172年間、破られなかった。この業績は、西洋では1920年代まで知られていなかった<ref name="Hogendijk2009"/>。
;[[1500年]]ごろ
:'''[学]''' ケーララの天文学者ニーラカンタが、円周率の[[無理数]]性を指摘した。彼の著書『アールヤバティーヤ・バーシャ』<ref name="Bhasya"/>には、こうある<ref name="Roy1990"/>: 「直径が何らかの長さの単位で計測されて、その単位の比として表されるなら、その同じ単位によって円周を同様に計測できない。よってまた同様に、円周が何らかの単位で計測可能であるのなら、直径はその同じ単位によっては計測できない。」
:ケーララ学派は円周率の無限級数表示を知っていたため、この認識は自然に生じたのだろう。
:ニーラカンタは、円周率の近似値として 104348/33215 を与えた<ref name="Roy1990"/>。これは9桁目まで正しい。
;[[16世紀|1579年]]
:{{Flagicon|FRA}}'''[値]'''(9) [[フランソワ・ビエタ]]が円に内接・外接する正393,216角形の周の長さから 3.14159 26535 < {{Unicode|π}} < 3.14159 26537 という評価をした。ビエタはさらに、[[総乗|無限乗積]]
[[画像:Monument voor PI .jpg|alt=ルドルフの墓の写真|thumb|right|200px|オランダの[[ライデン]]にあるルドルフの墓(復元後)。彼が得た35桁の上界・下界(末尾桁1違い)が刻まれている。]]
;[[1600年]]ごろ
:'''[値]'''(35) ルドルフ・ファン・コイレンはさらに、1610年に亡くなるまでのいずれかの時点で、正2<sup>62</sup>(=約461京1686兆)角形を使って {{Unicode|π}} の35桁目までを正しく評価した。この結果は、1621年、弟子の[[ヴィレブロルト・スネル|スネル]]の著書『キュクロメトリクス、円の計測について』<ref>{{cite book| author={{lang|la|Snellius, Willebrordus}} ({{lang|nl|Snel, Willebrord}}) | title={{lang|la|Cyclometricus, De Circuli Dimensione}} | year=1621 | language=ラテン語}}</ref>で公表されたほか、本人の墓(生前の1602年に購入した記録がある)に刻まれた。墓石は後代に滅失したが、碑文とスケッチは残っており、2000年に復元された<ref name="MacTutor-Ludolph"/>。かつてドイツでは彼の名にちなんで円周率をルドルフ数 ({{lang|de|[[:de:Ludolph_van_Ceulen#Ludolphsche_Zahl|Ludolphsche Zahl]]}}) と呼ぶことがあるんだ<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], p.174, p.339.</ref>。
 
コイレンの時代までで、単純に正多角形の辺を増やしていく計算の時代は終わり、評価式の本質的な改良が行われるようになっていく。17世紀は多くの評価式が生まれ、コイレンが生涯のかなりの部分を費やした35桁までの計算も、やがて比較的簡単に求められるようになった。
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