「円周率の歴史」の版間の差分
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→正多角形による評価の時代: マーダバ: θ=の式が抜けていて、意味が通じなくなっていたのを修正。 |
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</ref>。しかし、ニーラカンタの天文学書『アールヤバティーヤ・バーシャ』<ref name="Bhasya">
『アールヤバティーヤ』（{{lang|sa-Latn|Āryabhaṭīya}}）は、天文学者[[アールヤバタ]]（476–550）の著作（カタカナで書くとアーリャバタ、アーリャバティーヤだが、日本語ではアールヤバタ、アールヤバティーヤと呼ばれているのでそれに従う）。『アールヤバティーヤ・バーシャ』（{{lang|sa-Latn|Āryabhaṭīya-bhāṣya}}）は、約1000年後のニーラカンタが『アールヤバティーヤ』を解説したもの。
</ref>によると、sin の展開式は彼より前の時代の学者の業績であるという。その学者とは、サンガマグラーマ（現在のイリンジャラクダ）の[[マーダヴァ|マーダバ]]（{{lang|sa-Latn|Mādhava}}, 1340頃–1415頃。[[マラヤーラム語]]名: マーダバン）である。以下の式も、マーダバの発見とされることが多い<ref name="Untapped"/><ref name="MacTutor-Madhava">
{{citation| first1={{lang|en|John J.}}| last1={{lang|en|O’Connor}}| first2={{lang|en|Edmund F.}}| last2={{lang|en|Robertson}}| year=2000| title={{lang|en|Madhava of Sangamagramma}}| work={{lang|en|MacTutor History of Mathematics archive}}| publisher=[[セント・アンドルーズ大学 (スコットランド)]]| url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Madhava.html| accessdate=2012-09-21| separator=,}}</ref>:
::<math>\theta = \tan \theta - \frac{\tan^3 \theta}{3} + \frac{\tan^5 \theta}{5} - \frac{\tan^7 \theta}{7} + \cdots</math>
:これは次と同等である:
::<math>\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots</math>
:この無限級数は、ヨーロッパでは1670年代に[[ジェームズ・グレゴリー]]と[[ゴットフリート・ライプニッツ]]により再発見され、一般的にはグレゴリー級数、[[ライプニッツの公式|ライプニッツ級数]]などと呼ばれる。
:'''[値]'''(10 ?) 一説に、マーダバは上式で
::<math>\pi = \sqrt{12}\left(1-{1\over 3\cdot 3^1}+{1\over5\cdot 3^2}-{1\over7\cdot 3^3}+\cdots\right)</math>
:の21項を計算し、{{π}} ≈ 3.14159 26535 9 を得た<ref name="MacTutor-Madhava"/>。これは小数点以下10桁目まで正しい（<small>12桁目を四捨五入した11桁の近似値としては全11桁が正しいが、11桁目「8」は未確定</small>）。別の資料によると、彼の近似値は 2,827,433,388,233/9×10<sup>−11</sup> で<ref>
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