「ポテンシャル」の版間の差分

'''ポテンシャル'''（potential）（{{lang-en-short|potential}}）は、直訳すると「潜在性」を意味する[[物理]]用語。

[[空間]]内において、空間内の各点に働く[[力]]（'''''F'''とする）'' が、当該点上のある定まった量''V'' から、

{{Indent|<math> \boldsymbol{F} = - \nabla V ( = - \mathrmoperatorname{grad} V) \qquad\cdots(1)</math>}}

として求まる時、''V'' を力'''''F''''' の'''ポテンシャル'''と言う（gradは[[勾配]]）。上式の関係より、''V'' は勾配におけるスカラーポテンシャルである。なお、gradは[[勾配]]、<math>\nabla</math>は[[ナブラ]]を参照である。

一つの[[質点]]を考え、これが力'''''F''''' の作用する[[場]]（力場）にあり、当該質点がd'''''l''''' (dxd''x'' ,dy d''y'' ,dz d''z'' )だけ[[変位]]した時、その力のなした[[仕事 (物理学)|仕事]]dWd''W'' は（以下、[[直交座標系]]を考える）、

{{Indent|<math> dW\mathrm{d}W = \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = F_x dx\mathrm{d}x + F_y dy\mathrm{d}y + F_z dz\mathrm{d}z </math>}}

となる。(''F_x'' , ''F_y'' , ''F_z'' )は力'''''F''''' の各座標成分である。ポテンシャルに関して、

{{Indent|<math> dW\mathrm{d}W = - { \partial V \over {\partial x} } dx\mathrm{d}x - { \partial V \over {\partial y} } dy\mathrm{d}y - { \partial V \over {\partial z} } dz\mathrm{d}z = - dV\mathrm{d}V </math>}}

先のdWd''W'' = - dVd''V'' の関係から、力の作用する範囲内（力場内）で質点が、位置Aから位置Bへ運動する間になす仕事''W''_A-B は、

{{Indent|<math> W_\mathrm{A-B} \, = V_AV_\mathrm{A} - V_BV_\mathrm{B} </math>}}

となる。''V''_A は位置Aでのポテンシャル、''V''_B は位置Bでのポテンシャルである。この結果は、質点の動いた経路に依らない。このように、どのような経路を通るかに関わらず、なした仕事がどの経路でも等しい場合、この時に質点に働く力を'''保存力'''（conservative force）と言う。また、保存力のみが作用する場（力場）を'''保存力場'''（conservative force field）と言う。また保存力では、質点が位置Aから出発して位置Aに戻る経路（閉じた経路）の場合、質点のなした仕事は、途中の通った道筋に関係なくゼロとなる。

{{Main|回転 (数学)#ベクトルポテンシャル}}

最初の式(1)について、'''F''F'=-∇Vの式で、'''F''' は力なので、これに関しての質量''m'' の質点（簡単のため一1質点を想定）を考え、それの[[ニュートンの運動方程式|運動方程式]]からは、

{{Indent|<math> \boldsymbol{F} = m {\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r} \over {dt\mathrm{d}t^2}} = - \nabla V </math>}}

となる。d<mathsup> \, d^2 \boldsymbol{</sup>'''''r}''''' /d''t'' dt^<sup>2 </mathsup> は質点の加速度である。上式の真中と右辺に着目、この2辺にそれぞれd'''''r''''' /dtd''t'' をかけ、時間''t'' で積分すると次の式を得る。

{{Indent|<math> {1 \over 2} m \left( {\mathrm{d} \boldsymbol{r} \over {dt\mathrm{d}t}} \right)^2 + V(\boldsymbol{r}) = \mathrm{constant} </math>}}

{{Indent|<math> { \mathrm{d} \over {dt\mathrm{d}t}} \left( {\mathrm{d} \boldsymbol{r} \over {dt\mathrm{d}t} } \right)^2 = 2 {\mathrm{d }\boldsymbol{r} \over {dt\mathrm{d}t}} \cdot {\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r} \over {dt\mathrm{d}t^2}} </math>}}

{{Indent|<math> {\mathrm{d} \over {dt\mathrm{d}t}} V (\boldsymbol{r}) = {\mathrm{d }\boldsymbol{r} \over {dt\mathrm{d}t}} \cdot {\partialnabla V(\boldsymbol{r}) \over {\partial \boldsymbol{r}} } </math>}}

から求められる。constantは時間''t'' に関しての積分から出てくる[[積分定数|定数]]である。これは積分して得られた式の左辺において、第一項が[[運動エネルギー]]であり、それと第二項の''V'' ('''''r''''' )との和が一定であることを意味し、この場合、''V'' ('''''r''''' )のことを'''ポテンシャルエネルギー'''（[[位置エネルギー]]）と呼ぶ。これは形式上、ポテンシャルと同じ形だが、この時の''V'' ('''''r''''' )の'''''r''''' は質点の位置であり、'''''r''''' = '''''r''''' (''t'' )である。

*{{cite|和書|author=日本数学会 『|title=岩波数学辞典（第3版）』 |publisher=岩波書店、|year=1985年。|ISBN =4000800167}}