「自由群」の版間の差分

:'''ab''' = (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>, ''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ..., ''b''<sub>''m''</sub>)
 
と定めると &Omega; の語の全体 ''W''(&Omega;) は、空の語 () を[[単位元]]とする[[モノイド]]になる('''自由モノイド'''あるいは空の語を特に考えないもの'''自由半群''')。ある語 '''a''' の中に ''x'' &isin; ''X'' と ''x''<sup>-1</sup> &isin; ''X''<sup>-1</sup> が隣り合っている部分があるとき、この二つを取り除いて新たな語 '''b''' を作ることを '''a''' を'''簡約'''(かんやく、''reduce'', ''cancel'')して '''b''' にするという。簡約できない語は'''既約'''(きやく、''irreducible'')であるという。語 '''a''' を簡約して得られる既約な語を '''a''' の'''簡約表示'''と呼び、ここでは ''I''('''a''') と表すことにする。
''W''(&Omega;) における[[二項関係]] ~ を簡約表示が一致すること、すなわち
: '''a''' ~ '''b''' &hArr; ''I''('''a''') = ''I''('''b''')
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