「循環 (流体力学)」の版間の差分

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{{連続体力学}}
[[流体力学]]における'''循環''' (じゅんかん、[[英語]]:circulation{{lang-en-short|circulation}}) とは閉曲線上での[[流体]]の[[速度]]の[[線積分]]である。循環は <math>\it\Gamma</math>''Γ'' と表されることが多い。[[渦]]の強さを表し、[[非粘性]][[バロトロピック流体]]の[[保存力|保存外力]]下では流れにそって保存する。
 
閉曲線 <math>''C</math>'' に沿った循環 <math>{\it\Gamma}</math>''Γ'' は、流体の速度を <math>\boldsymbol{'''''v}</math>''''' 、曲線の微小線要素ベクトルを <math>\mathrm{d}\boldsymbol{'''''l}</math>''''' として、線積分
:<math>
{\it\Gamma}=\oint_{C} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}
</math>
で表せる<ref name="巽">
{{cite book|和書
| author=巽友正
| isbn=456302421X
}}
</ref>
 
== 循環と渦度 ==
[[ストークスの定理]]によって、循環は[[渦度]]と以下のように関連付けされる。
:<math> \begin{align}
{\it\Gamma}
&=\oint_{C} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}\\
&=\int_S \boldsymbol{\omega} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}
\end{align}</math>
ただし、積分経路 <math>''C</math>'' は閉曲線であるだけでなく、面積要素 <math>''S</math>'' の境界 <math>''C'' =\partial ∂''S</math>'' でなければいけない。ここで
:<math>\boldsymbol{\omega} = \nabla\times\boldsymbol{v}</math>
は渦度である。<!--渦度とは微小なループに囲まれた単位面積あたりの循環に等価である。-->
== 循環と渦定理 ==
以下の定理が成り立つ。
* [[ケルビンの渦定理]] 「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、流体とともに動く閉曲線に沿う循環は時間的に不変である<ref name="巽"/>
* {{仮リンク|ヘルムホルツの渦定理|en|Helmholtz's theorems}}
* [[ヘルムホルツの渦定理]] 「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、渦管は渦管として行動し、かつ、その強さは一定不変である<ref name="今井">
{{cite book|和書
| author=今井功
}}
</ref>」
* [[ラグランジュの渦定理]] 「非粘性バロトロピック流体の保存外力下での流れにおいて、渦は生成不滅である。<ref name="今井"/>
 
== 循環と揚力 ==
[[フレデリック・ランチェスター]]、[[{{仮リンク|マーティン・ウィルヘルム・クッタ]] ([[:|en:|Martin Wilhelm Kutta]])}}、そして、[[ニコライ・ジュコーフスキー]]らがそれぞれ独立に、循環の概念を使って[[揚力]]を説明した<ref name="kundu">
{{cite book
| author1=P.K. Kundu
| isbn=0123821002
}}
</ref>
 
非粘性流体の2次元非回転非圧縮流れにおいて、水平方向( <math>''x</math>'' 方向)に一様な速度 <math>''U</math>'' の流れを考える。奥行き方向単位長さあたりの物体にかかる力の鉛直成分( <math>''y</math>'' 成分)、すなわち、[[揚力]] <math> ''L </math>'' は物体を囲む閉曲線に沿った循環 <math> {\it\Gamma} </math>''Γ'' と流体の密度 <math> \rho </math>''ρ'' とを使って
:<math>
L = -\rho U {\it\Gamma}
</math>
で表される。これは[[クッタ・ジュコーフスキーの定理]]と呼ばれる<ref name="kundu"/>
 
== 関連項目 ==
* [[渦度]]
* [[ビオ・サバールの法則]]
* [[{{仮リンク|クッタの条件]] ([[:|en:|Kutta condition]])}}
* [[クッタ・ジュコーフスキーの定理]]
* [[ケルビンの渦定理]]
* {{仮リンク|ヘルムホルツの渦定理|en|Helmholtz's theorems}}
* [[ラグランジュの渦定理]]
== 出典 ==
{{reflist}}
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