「円周率の歴史」の版間の差分

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『アールヤバティーヤ』({{lang|sa-Latn|Āryabhaṭīya}})は、天文学者[[アールヤバタ]](476–550)の著作(カタカナで書くとアーリャバタ、アーリャバティーヤだが、日本語ではアールヤバタ、アールヤバティーヤと呼ばれているのでそれに従う)。『アールヤバティーヤ・バーシャ』({{lang|sa-Latn|Āryabhaṭīya-bhāṣya}})は、約1000年後のニーラカンタが『アールヤバティーヤ』を解説したもの。
</ref>によると、sin の展開式は彼より前の時代の学者の業績であるという。その学者とは、サンガマグラーマ(現在のイリンジャラクダ)の[[サンガマグラーマのマーダヴァ|マーダバ]]({{lang|sa-Latn|Mādhava}}, 1340頃–1415頃, [[マラヤーラム語]]名: マーダバン)である。以下の式も、マーダバの発見とされることが多い<ref name="Untapped"/><ref name="MacTutor-Madhava">
{{citation| first1={{lang|en|John J.}}| last1={{lang|en|O’Connor}}| first2={{lang|en|Edmund F.}}| last2={{lang|en|Robertson}}| year=2000| title={{lang|en|Madhava of Sangamagramma}}| work={{lang|en|MacTutor History of Mathematics archive}}| publisher=[[セント・アンドルーズ大学 (スコットランド)]]| | language=英語| url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Madhava.html| accessdate=2012-09-21| separator=,}}</ref>:
::<math>\theta = \tan \theta - \frac{\tan^3 \theta}{3} + \frac{\tan^5 \theta}{5} - \frac{\tan^7 \theta}{7} + \cdots</math>
:これは次と同等である:
:'''[値]'''(10 ?) 一説に、マーダバは上式で ''θ'' = {{π}}/6 として得られる
::<math>\pi = \sqrt{12}\left(1-{1\over 3\cdot 3^1}+{1\over5\cdot 3^2}-{1\over7\cdot 3^3}+\cdots\right)</math>
:の21項を計算し、{{π}} ≈ 3.14159 26535 9 を得た<ref name="MacTutor-Madhava"/>。これは小数点以下10桁目まで正しい(<small>12桁目を四捨五入した11桁の近似値としては全11桁が正しいが、11桁目「8」は未確定</small>)。別の資料によると、彼の近似値は <math>\textstyle\frac{2,827,433,388,233/9×10<sup>−11}{900,000,000,000}</supmath> で<ref>
{{cite journal| first=A. K.| last=Bag| year=1980| title={{lang|en|Indian Literature on Mathematics During 1400–1800 A.D.}}| lang=英語| journal={{lang|en|Indian Journal of History of Science}}| volume=15| issue=1| page=86| url=http://www.new.dli.ernet.in/rawdataupload/upload/insa/INSA_1/20005af2_79.pdf| format=PDF| separator=,}}
</ref>、3.14159 26535 92222… に当たる。マーダバが円周率10桁を得たとすると、祖沖之の7桁以来、約1000年ぶりの世界記録更新である。
</ref>)。現代的な表記に直せば:
::3.14159 26535 89793 23084… < {{π}} < 3.14159 26535 89793 25482…
:彼は近似値 2{{π}} = 6; 16,59,28,1,34,51,46,14,50 を採用し、10進表示 {{π}} = 3.14159 26535 89793 25 も与えた<ref>
正確には、5×2{{π}} の近似値31.41592…を小数第16位まで示した。
</ref>。これは小数点以下16桁目まで正しく、末尾の17桁目も真の値に近い。記録に残る当時最良の円周率の近似値であり、この世界記録は1596年にファン・コーレンが小数点以下20桁を示すまで172年間、破られなかった。この業績は、西洋では1920年代まで知られていなかった<ref name="Hogendijk2009"/>。
:'''[値]'''(20) [[ルドルフ・ファン・コーレン]]<ref>標準オランダ語では {{lang|nl|''v''}} は有声音なので、{{lang|nl|''van''}} の部分はバン(ヴァン)と表記するべきかもしれない。彼の住んだ地域の方言では(少なくとも現代では){{lang|nl|''v''}} が無声音として発音されるということから、暫定的にファン・コーレンと表記しておく。</ref>({{lang|nl|Ludolph van Ceulen}}, ドイツ語読み: ファン・コイレン)が、『円について』で円周率の小数点以下20桁を決定した<ref>
{{cite book| year=1596| author={{lang|nl|Van Ceulen, Ludolf}}| title={{lang|nl|Vanden Circkel &#91;Van den Circkel&#93;}}| language=オランダ語| url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN539965979}} &#91;[http://www.ludolphvanceulen.nl/documents/circkel.pdf 簡易校訂版(PDF)]&#93;
</ref>。ファン・コーレンはまず、正5×2<sup>25</sup>(=約2億)角形、正4×2<sup>28</sup>(=約10億)角形、正3×2<sup>31</sup>(=約60億)角形を用いて、円周率をそれぞれ12桁、16桁、18桁まで求めた。さらに、正60×215×2<sup>2931</sup>(=約300億)(=32,212,254,720)角形に基づき次の評価を与えた:
::3.14159 26535 89793 23845 < {{pi}} < 3.14159 26535 89793 23847
:上界・下界の平均を取って {{pi}} ≈ 3.14159 26535 89793 23846 とすれば、結果的に全20桁が正しい。しかし、ファン・コーレンの態度は厳格で、上記の結果は19桁のみ有効であるているく指摘した<ref>
{{citation| authors=Deimen, Inga; Hendriks, Maxim; Pronk, Matthijs| year=2006| title={{lang|nl|Van den cirkel, wortels en π}} | page=5.| url=http://www.ludolphvanceulen.nl/documents/C-Pi.pdf| format=PDF |language=オランダ語| accessdate=2012-09-30| separator=,}} [著者らは20桁目を5または6としているが、実際には7になる可能性もあった。]
</ref>。最後に彼は {{pi}} の20桁を示した:
::3.14159 26535 89793 23846 < {{pi}} < 3.14159 26535 89793 23847
:直前の計算で使った表に2分割辺の数もう1ステップ進めさらに2倍にした正60×215×2<sup>3032</sup>(=約600億)(=64,424,509,440)角形についての数値が記されており、それに基づく計算だろう<ref name="Hogendijk2009"/><ref>{{cite journal| first={{lang|nl|Steven}}| last={{lang|nl|Wepster}}| title={{lang|nl|Van Ceulens veelhoeken en veeltermen}}| journal={{lang|nl|Nieuwe Wiskrant}}| year=2008| volume=28| issue=1| page=46| url=http://www.fisme.science.uu.nl/wiskrant/artikelen/281/281september_wepster.pdf| format=PDF| language=オランダ語}}</ref><ref>{{citation| title={{lang|nl|Van den Ronden Cirkel- Hoofdstuk 11}}| url=http://www.math.uu.nl/wiskonst/vandencirkel/hoofdstuk11.html| publisher=[[ユトレヒト大学]]数学学部| language=オランダ語}}</ref>。ファン・ローメンの15桁の計算(1593)の改良であり、アル・カーシーの16桁の記録(1424)を上回る新しい世界記録の達成だった。
:ファン・コーレンは[[ヒルデスハイム]]で生まれ、[[ネーデルラント17州|ホラント]](現在の[[南ホラント州|オランダ西部]])に移住した。フェンシングと数学の教師だった。高等教育は受けていなかったが、円積問題や円周率をめぐる数学上の論争に巻き込まれ、1590年(50歳)ごろから円周率に興味を持ち始めたらしい<ref name="MacTutor-Ludolph">
{{citation| last1={{lang|en|O’Connor}} | first1={{lang|en|John J.}} | last2={{lang|en|Robertson}} | first2={{lang|en|Edmund F.}} | title={{lang|en|Ludolph Van Ceulen}} | work={{lang|en|MacTutor History of Mathematics archive}} | publisher=[[セント・アンドルーズ大学 (スコットランド)]] | language=英語 | url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Van_Ceulen.html | year=2009 | month=4 | accessdate=2010-09-12| separator=,}}
;[[1630年]]
:'''[値]'''(38) オーストリア出身の天文学者・数学者[[クリストフ・グリーンベルガー]]は、スネリウスの手法を用いて円周率の小数点以下39桁目までを計算し、1630年に出版された自著『三角法の基礎』の中で公表した<ref>
{{cite book| author=[[アーネスト・ウィリアム・ホブソン]] | title={{lang|en|“Squaring the Circle”: A History of the Problem}} | language=英語 | year=1913 | page=27 | publisher=[[ケンブリッジ大学出版局]] | url=http://archive.org/stream/squaringcirclehi00hobsuoft#page/27/mode/1up}} <small>([本書では、グリーンベルガーの著作名 {{lang|la|''Elementa Trigonometrica''}} が {{lang|la|''Elementa Trigonometriae''}} と記されている。)</small>]
</ref>。39桁目は7だが、彼はそれを6と9の間だと正しく評価した<ref>
{{cite book| author={{lang|la|Grienbergerus, Christophorus}} ({{lang|de|Grienberger, Christoph}}) | title={{lang|la|Elementa Trigonometrica}} | year=1630 | language=ラテン語}}
:'''[値]'''(2.57兆) [[筑波大学計算科学研究センター]]の高橋大介が、円周率を2兆5769億8037万桁まで計算する世界記録を樹立したと発表した。「[[T2Kオープンスパコン|T2K筑波システム]]」(毎秒95兆回)を使い、検証計算を含めて約73時間36分を要した<ref>{{cite web| author=高橋大介| date=2009-08-17| title=円周率2兆5769億8037万桁計算の結果について| url=http://www.hpcs.is.tsukuba.ac.jp/~daisuke/pi-j.html| accessdate=2012-09-27}}</ref><ref>{{cite web|date=2009-08-17| title=円周率の計算けた数で世界記録を樹立| url=http://www.tsukuba.ac.jp/topics/20090819133359.html| publisher=[[筑波大学]]| accessdate=2012-09-27}}</ref>。
;2009年12月
:'''[値]'''(2.69兆) [[フランス]]の[[ファブリス・ベラール]]([[w:Fabrice Bellard]]、[[QEMU]]や[[FFmpeg]]などが知られる)が、[[Intel Core i7]]を搭載したデスクトップPCでチュドノフスキーの級数を用いて2兆6999億9999万桁まで計算し、世界記録を樹立した。バイナリーでの計算に103日、検算に13日。データ量1137GB<ref>[2010年1月12日読売夕刊12面]</ref>。2.93GHzのクアッドコアプロセッサ、6GBのメモリ、7.5TBのストレージを搭載したデスクトップPCを使用し、検証計算を含めて131日を要した<ref>{{cite webcitation| first={{lang|fr|Fabrice}}| last={{lang|fr|Bellard}}| date=2009-12-31| title={{lang|en|Pi Computation Record}}| url=http://bellard.org/pi/pi2700e9/announce.html| language=英語| accessdate=2012-09-27}}</ref>。
;[[2010年]]
:'''[値]'''(5兆) [[長野県]][[飯田市]]の会社員近藤茂と米国のアレクサンダー・J・イーが、3カ月かけてパソコンで小数点以下5兆桁まで計算した<ref>{{cite news|title=円周率5兆けた、PCで計算 長野の会社員、3カ月かけ|author=松井潤|newspaper=[[朝日新聞]]|publisher=[[朝日新聞社]]|date=2010-8-05|url=http://www.asahi.com/science/update/0804/TKY201008040488.html|accessdate=2012-08-09|archiveurl=http://web.archive.org/web/20100806040532/http://www.asahi.com/science/update/0804/TKY201008040488.html|archivedate=2010-08-06}}</ref><ref>{{cite news |title=円周率5兆桁でギネス認定 近藤さん、10兆にも挑戦中|newspaper=共同通信|date=2011-01-19|url=http://www.47news.jp/CN/201101/CN2011011901000745.html|accessdate=2011-02-27}}</ref><ref>{{cite news |title=円周率5兆けた計算、ギネスも認めた 長野の会社員|newspaper=朝日新聞|date=2011-02-13|url=http://www.asahi.com/national/update/0212/TKY201102120239.html|accessdate=2011-02-27|ref=朝日20110213}}</ref>。
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