'''最小公倍数'''(さいしょうこうばいすう、{{lang-en-short|least common multiple}})とは、<math>0 </math>ではない複数の[[整数]]の[[公倍数]]のうち最小のものをさす。たびたび、L.C.M.等の省略形で記述される。
== 定義 ==
2つ以上の整数 <math>a_1,\ldots, a_n</math> の最小公倍数とは、 <math>a_1,\ldots, a_n</math> の公倍数のうち最小の正整数である。
つまり、 <math>a_1,\ldots, a_n</math> を
{{Indent|<math>
a_j = \varepsilon_j\prod_{p;\operatornamemathrm{prime}}p^{e_p(j)}\ \ \ (e_p(j)\ge 0,\ \ \varepsilon_j=\pm 1)
</math>}}
と[[素因数分解]]したとき、<math>a_1,\ldots, a_n</math> の最小公倍数は
{{Indent|<math>
\prod_{p;\operatornamemathrm{prime}}p^{\max\{e_p(1),\ldots,e_p(n)\}}
</math>}}
で与えられる。
例えば、<math>30 </math>と <math>42 </math>の最小公倍数は <math>210 </math>である。
== 諸概念 ==
正整数 ''<math>a''、''b'',\ b</math>に対して、''<math>a'' </math>と ''<math>b'' </math>の[[最大公約数]] <math>\scriptstyle\operatornamemathrm{gcd}(a,\ b)</math> と最小公倍数 <math>\scriptstyle\operatornamemathrm{lcm}(a,\ b)</math> との間には
{{Indent|<math>
\operatornamemathrm{gcd}(a,\ b)\cdot\operatornamemathrm{lcm}(a,\ b) = ab
</math>}}
という関係がある。
しかし、この関係式は 33つ以上の正整数に対しては一般には成立しない。例えば、<math>a = 2,\ b = 6,\ c = 15</math>とすると、<math>\mathrm{gcd}(a,\ b,\ c) = 1,\ \mathrm{lcm}(a,\ b,\ c) = 30</math>であるが、<math>abc = 180</math>である。
例えば、<math>a=2</math>、<math>b=6</math>、<math>c=15</math> とすると
<math>\scriptstyle\operatorname{gcd}(a,\ b,\ c) = 1</math>、<math>\scriptstyle\operatorname{lcm}(a,\ b,\ c) = 30</math>
であるが、<math>abc=180</math> である。
== 多項式の最小公倍数 ==
[[多項式]]の <math>0 </math>でない公倍数のうち、最も次数の低いものを最小公倍数という。例えば、<math>x^3-x</math>と<math>x^3+x^2-x-1</math>の最小公倍数は <math>x(x+1)^2(x-1)</math> である。
多項式の最小公倍数は定数倍を除いて一つしか存在しない。 ▼
▲多項式の最小公倍数は定数倍を除いて 一1つしか存在しない。
== 参考文献 ==
* {{Cite book
|和書
|author=高木貞治
== 関連項目 ==
* [[公約数]]
* [[公倍数]]
* [[最大公約数]]
* [[多項式]]
== 外部リンク ==
[[Category{{DEFAULTSORT:数論|さいしようこうはいすう]]}}
[[Category:初等数学|さいしようこうはいすう論]]
[[Category:初等数学に関する記事|さいしようこうはいすう]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[ar:مضاعف مشترك أصغر]]
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