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'''ベルヌーイ数''' (ベルヌーイすう、Bernoulli number) は数論における基本的な係数を与える数列であり、もともと、連続する整数のべき乗和を定式化する際の展開係数として17051713年に[[ヤコブ・ベルヌーイ]]が著書 Ars Conjectandi (推測術) にて導入した<ref>Julian Havil, "オイラーの定数 ガンマ," 新妻弘 訳, 共立出版, 初版, pp.97-99, 2009.</ref>ことからこの名称がついた。 ベルヌーイ数は、べき乗和の展開係数にとどまらず、級数展開の係数や剰余項、[[リーマンゼータ関数]]においても登場する。また、ベルヌーイ数はすべてが[[有理数]]である。
 
== 定義 ==
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のように書くことができる。 ベルヌーイ数の漸化式は、べき乗和を定式化した際の考察から得られる。 さらに、ベルヌーイ数の指数型母関数 ([[母関数]] 参照) が <math>x/(e^x - 1)</math> となることから、その母関数を現在ではベルヌーイ数の定義とする。
 
[[ヤコブ・ベルヌーイ]]は 1705年に彼の著書「推測術」でベルヌーイ数を導入した際、べき乗和を上に書いたような <math>0</math> から <math>n-1</math> にわたる和でなく、<math>1</math> から <math>n</math> にわたる和:
::<math>
\hat{S}_k(n) \equiv \sum_{j=1}^{n} j^k = 1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k
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