「九去法」の版間の差分

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'''九去法'''([[英語きゅうきょほう、くきょほう、{{Lang-en-short|英]]: '''Casting out nines'''}})は、[[整数]]の[[算術|四則演算]]の[[検算]]の一種である。入力と出力の[[数字根]]を求めることで、その計算が正しいかどうかを確認する補助とテストになる。非常に単純な方法なので、その数学的意味を理解できなくても活用可能である。
 
== 概要 ==
九去法という名称は、検算過程で 9 を無視することを意味している。ある数値の各桁の数字を足し合わせるが、9 および合計が 9 になる数字は無視して加算しない。各数値について1桁の数字を求め、本来の計算と同じ計算(加法なら足し算)をその数字について行う(この場合も 9 を無視した数字根を求める)。入力となる各数値についてこのようにして求められた数字と出力について求めた数字が一致しなければ、計算が正し間違ってことになる。
 
この方法は[[電卓]]なしでもできるほど単純であるが、問題がないわけではない。九去法は整数や[[小数]]以外では使えず、[[分数]]や[[小数]]や[[指数]]には使えない。また、もともとの計算結果が全くのでたらめであった場合に、九去法では偶然正しいと判定される可能性がある。また、九去法の過程で計算間違いをする可能性も当然ながら存在する。
 
電卓や[[コンピュータ]]の普及により、九去法は最近ではあまり使われなくなった。また、特に日本では[[そろばん安永]]4年([[1775年]])に出版された[[和算]]書『[[算法少女]]』の第八問に九去法古くか取り上げ普及していたためる<ref>[[#小寺2009|小寺(2009)]]附録19頁</ref>。この本によれば「[[阿波]]の人が[[浪花]]にきてこの術〔九去法のよ〕を十金で売っていた.好事家が争って求めていたといな検算方法はあまり一般に知ら.」と解説されていないる<ref>[[#小寺2009|小寺(2009)]]、77-81頁</ref>
 
== 例 ==
言葉で説明しても分かりにくいので、以下では[[加法]]、[[減法]]、[[乗法]]、[[除法]]のそれぞれについて九去法を使った例を示す。
 
=== 加法 ===
== 何故うまくいくのか ==
九去法は[[合同式]]の性質を利用した検算方法である。9 を法とする計算において、''x'' と ''x&#39;''(および ''y'' と ''y&#39;'')が合同であれば、''x''&nbsp;+&nbsp;''y'' と ''x&#39;''&nbsp;+&nbsp;''y&#39;'' も合同であり、''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''y'' と ''x&#39;''&nbsp;&minus;&nbsp;''y&#39;'' も合同であり、''x''&nbsp;×&nbsp;''y'' と ''x&#39;''&nbsp;×&nbsp;''y&#39;'' も合同となる。
<math>x \equiv x' \pmod{9},\ y \equiv y' \pmod{9} \implies \begin{cases} x+y \equiv x'+y' \pmod{9}, \\
x-y \equiv x'-y' \pmod{9}, \\
x \times y \equiv x' \times y' \pmod{9}.\end{cases}</math>
 
整数の計算式に限れば、次が成り立つ。すなわち整数を構成する[[十進記数法]]の各[[数字]]の総和と元の数値は 9 を法として合同である。このため、数字を足し合わせた結果についても、さらに数字を足し合わせていき、最終的に一桁の数字を得たとき、その数字は元の数値と 9 を法として合同である。また、この際に 9 を除いても結果は変わらない(9 は 9 を法としたとき 0 となるため)。
 
<math>10 \equiv 1 \pmod{9} \implies 10^{k} \equiv 1 \pmod{9} \ \textrm{for}\ k \geqq 1.</math>
<math>\begin{cases} & x = a_{n} 10^{n} + a_{n-1} 10^{n-1} + \cdots + a_0 \\
\implies & x \equiv a_{n} + a_{n-1} + \cdots + a_0 \pmod{9}.\end{cases}</math>
 
簡単に要約すると、計算結果が正しければ9で割った余りも必ず一致するので、それを確かめているのである。
 
== 歴史 ==
3世紀のローマの僧 Hippolytos は九去法を知っていた。その後12世紀のインドの数学者らも九去法を使っていた<ref>{{Harvtxt|Cajori, Florian (|1991, 5e) ''A History of Mathematics'', AMS. ISBN 0-8218-2102-4. |p.=91}}</ref>。
 
== 脚注 ==
{{Reflist}}
 
== 参考文献 ==
*{{Citation|last=Cajori|first=Florian|author-link=Florian Cajori|year=1991|title=A History of Mathematics (AMS Chelsea Publishing)|publisher=[[アメリカ数学会|AMS]]|location=New York, NY|edition=5|page=91|isbn=0-8218-2102-4|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=CHEL-303-H|ref=harv}}
<references/>
**{{Cite book|和書|author=フロリアン・カジョリ|authorlink=フロリアン・カジョリ|others=[[石井省吾]]訳註|year=1970|title=数学史|volume=上(古代・中世・ルネッサンス)|publisher=津軽書房|asin=B000J9ZD0E|ref=カジョリ1970}}
*{{Cite book|和書|author=小寺裕|authorlink=小寺裕|date=2009-11-10|title=和算書「算法少女」を読む|series=[[ちくま学芸文庫]] Math&Science|publisher=筑摩書房|isbn=978-4-480-09255-7|url=http://www.chikumashobo.co.jp/product/9784480092557/|ref=小寺2009}}
 
== 外部リンク ==
*{{Yahoo!百科事典|九去法|author=[[三輪辰郎]]}}
*{{Kotobank|九去法|2=デジタル大辞泉}}
*{{MathWorld|title=Casting Out Nines|urlname=CastingOutNines}}
*[http://niquette.com/puzzles/paranump.html "Paranormal Numbers"] by Paul Niquette