「変分法 (解析力学)」の版間の差分
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'''変分法''' （へんぶんほう、Variational method, Calculus of variations）は、[[関数]]を取り[[値]]を返す関数である[[汎関数]]（functional）の[[微分]]に関する手法である。[[解析力学]]における重要な方程式は[[最小作用の原理]]を元に変分法を用いて導出される。
==変分法を使った原理==
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==変分法を使った計算例（[[物性物理学]]）==
[[多体問題]]において多体の[[波動関数]]を使って[[固有値問題]]を解析的かつ厳密に解くことは困難であり、何らかの[[近似
ある多体系において、規格化、直交性などの条件の下で任意に選んだ試行関数（変分関数とも言う。ここでは多体の波動関数）を、Ψ<SUB>trial</SUB>とする。試行関数はいろいろな選び方があるがここでは、Ψ<SUB>trial</SUB>は、系を記述する厳密な[[固有関数]]（波動関数）Ψ<SUB>i</SUB>の展開で記述できるとする。
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:<math> \Psi_{trial} = \alpha_0 \Psi_0 + \alpha_1 \Psi_1 + \alpha_2 \Psi_2 + \cdots </math>
ここで、Ψ<SUB>0</SUB>を[[基底状態]]の固有関数とする。Ψ<SUB>1</SUB>、Ψ<SUB>2</SUB>・・・は[[励起状態]]の固有関数。系の[[ハミルトニアン]]をHとして、Hに対するΨ<SUB>i</SUB>に対応する[[固有値]]をE<SUB>i</SUB>とすると、試行関数Ψ<SUB>trial</SUB>の固有値E<SUB>trial</SUB>は、
:<math> \left\langle \Psi_{trial} | H | \Psi_{trial} \right\rangle = E_{trial} </math>
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となる。これが満たされない場合、その変分計算は正しくない。以上では、試行関数は厳密な解としてのΨ<SUB>0</SUB>を含むという特殊な場合である。実際の計算では厳密な解が存在しない場合がほとんどである。尚、以上に出てくる固有値は、系の[[全エネルギー]]と置き換えて考えても良い。変分法の結果の良し悪しが、試行関数の選び方に強く依存する場合がある。
試行関数の具体例としては、[[スレーター行列式]]を使い、個々の一粒子波動関数を最適化するものや、試行関数にジャストロウ型波動関数を使い[[量子モンテカルロ法]]を使って最適値を求めたりする。[[量子化学的手法]]や[[バンド計算]]も変分法が使われており、様々な場面で利用されている。
試行関数を使用しない変分法も存在する。
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