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'''生産関数'''(せいさんかんすう、{{Lang|en|production function}})とは、生産物の最大可能な産出量を生産要素の投入量に対応して表す関数である<ref name="odagiri">{{cite|和書 |title=企業経済学 |edition=2 |publisher=東洋経済新報社 |author=小田切宏之 |year=2010 |isbn=978-4-492-81301-0 |page=34-40}}</ref>。
企業は資本、技術、人材、原材料などを用いて生産活動を行う経済主体である。つまり、企業は投入物の種類や量によって生産量が決まる。この投入物と生産物との関係を単純化させたものが'''生産関数'''(せいさんかんすう、{{Lang|en|production function}})である。
 
企業は資本、技術、人材、原材料などの生産要素を用いて生産活動を行う経済主体である。つまり、企業はそれら投入物の種類や量によって生産量が決まる。この投入物と生産物と関数はこの関係を単純化させ、数学的モデルで表したものが'''生産関数'''(せいさんかんすう、{{Lang|en|production function}})である。
生産関数は 3 次元のグラフであらわされるので、便宜的に等量曲線として 2 次元であらわされることが多い。
 
[[マクロ経済学]]の分野では、1 国の経済の生産プロセスや要素量の変動を動学的に示す役割をも果たしている。生産関数は、[[フランク・ラムゼイ]]の[[最適成長モデル]]といったところでも見られるが、さらに[[新古典派経済学]]では、あらゆる経済学的現象を立証するのに使ってる。一般に、''Y'' = ''F''(''K'', ''L'') として表現さるが、[[コブ=ダグラス型生産関数]]や[[固定係数型生産関数]]、[[CES生産関数]]といった生産関数があり、経済理論の説明の道具となっている。
もっとも単純な生産関数は ''Y'' = ''F''(''L'') (''Y'' は生産量、''L'' は労働)であらわされる。また(生産においてはかなり普遍的に)限界生産性は逓減するので、生産関数は右上がりだが増加量は徐々に小さくなる。
 
== 数学的表現 ==
他に生産要素として、[[資本]]・労働力・技術・[[減価償却]]などがある。このとき、投入量の種類とその量によって生産量が決まるが、規模に関しては
生産量''Y'' を生産要素(''n'' 種類あるとする)の投入量 ''x''<sub>1</sub> , ... ''x<sub>n</sub>'' の関数で表すと
# 規模に関して収穫は一定
:<math>Y = F(x_1,\dots,x_n)</math>
# 規模に関して収穫は逓増
となる。これが一般的な生産関数の数学的表現である。
# 規模に関して収穫は逓減
の 3 つのケースが考えられる。
 
これの単純化したケースとして、生産要素が 1 種類だけ(たとえば労働''L'' )あるいは 2 種類(労働''L'' と資本''K'' )などといったものがよく考えられる。他に生産要素として、技術や[[減価償却]]などが考えられることがある。
 
=== 例 ===
また、有名な[[コブ=ダグラス型生産関数]]は以下の式で示される。
生産関数の例には以下のようなものがある。ただし生産要素は労働''L'' と資本''K'' の 2 種類であるとする。
また、有名な; [[コブ=ダグラス型生産関数]]は以下の式で示される。<ref name="odagiri"/>
: 生産量''Y'' が生産要素の[[同次関数]]としたものである。
::<math>Y=AL^{\alpha}K^{\beta} \,</math>
 
:但し、''A'' は技術進歩、&alpha;は労働分配率、&beta;は資本分配率と呼ばれ、0 < &alpha; < 1 , 0 < &beta; < 1 を満たす。
 
; [[固定係数型生産関数]]
; [[CES生産関数]]
 
== 限界生産力 ==
{{main|限界生産力}}
'''限界生産力'''MP とは、他の全ての生産要素投入量を一定に保ったまま、ある 1 種類の生産要素投入量を 1 単位だけ増やしたときの生産量''Y'' の変化である。
:<math>MP_i \equiv \frac{\partial Y}{\partial x_i}</math>
 
== 性質 ==
生産関数は、通常、以下の性質を満たすと仮定される。
* ある 1 種類の生産要素''x<sub>i</sub>'' の投入量を増やせば、生産量も増加する。
*: <math>MP_i > 0, (i=1,\dots,n)</math>
* '''[[収穫逓減]]の法則'''(または'''限界生産力逓減の法則''')が成り立つ。すなわち生産量の増加量は徐々に小さくなる。
*: <math>\frac{\partial MP_i}{\partial x_i} = \frac{\partial^2 Y}{\partial x_i^2} < 0</math>
 
== 派生概念 ==
=== 規模の経済 ===
{{main|規模の経済}}
全ての生産要素投入量を同じ率(''k'' 倍とする)で増加させるとき、生産量''Y'' の増加量がそれに比例するかどうかで 3 つのケースに分けられる。それぞれは
# 規模に関して収穫は一定
#:<math>Y(kx_1,\dots,kx_n) = kY(x_1,\dots,x_n)</math>
# 規模に関して収穫は逓増(または(狭義の)規模の経済)
#:<math>Y(kx_1,\dots,kx_n) > kY(x_1,\dots,x_n)</math>
# 規模に関して収穫は逓減(または規模の不経済)
#:<math>Y(kx_1,\dots,kx_n) < kY(x_1,\dots,x_n)</math>
と呼ばれる。
 
前述のコブ=ダグラス型生産関数の場合、
<math>Y=AL^{\alpha}K^{\beta} \,</math>
# 規模に関して収穫は一定:&alpha; + &beta; = 1
# 規模に関して収穫は逓増:&alpha; + &beta; > 1
# 規模に関して収穫は逓減:&alpha; + &beta; < 1
となる。
 
=== 等生産量曲線 ===
但し、
生産関数の[[等値線]]を'''等生産量曲線'''と呼ぶ<ref group="注">生産要素が 2 種類の場合。一般の場合は超曲面となる。</ref>。
''Y''は生産量、''A'' は技術進歩、''L'' は労働投入量、''K''は資本投入量、''α''は労働分配率、''β''は資本分配率とする。
 
生産関数の性質より、等生産量曲線は以下の性質を持つ。ただし簡単化のため生産要素を 2 種類(労働''L'' と資本''K'' )とするが、一般の場合も同様である。
# 右下がりである<ref group="注">生産関数''Y'' = ''F'' (''L'' , ''K'' ) を[[全微分]]して 0 とおけば
:<math>0 = dY = \frac{\partial Y}{\partial L}dL+\frac{\partial Y}{\partial K}dK</math>
より
:<math>\frac{dL}{dK} = -\frac{\partial Y}{\partial K}{\bigg /}\frac{\partial Y}{\partial L} < 0</math>
が導かれる。
</ref>。
#: <math>\frac{dL}{dK} < 0 </math>
# 原点に向かって[[凸関数|凸]]である。
{{節stub}}
 
== 脚注 ==
[[マクロ経済学]]の分野では、1 国の経済の生産プロセスや要素量の変動を動学的に示す役割をも果たしている。生産関数は、[[フランク・ラムゼイ]]の[[最適成長モデル]]といったところでも見られるが、さらに[[新古典派経済学]]では、あらゆる経済学的現象を立証するのに使っている。一般に、''Y'' = ''F''(''K'', ''L'') として表現されるが、[[コブ=ダグラス型生産関数]]や[[固定係数型生産関数]]、[[CES生産関数]]といった生産関数があり、経済理論の説明の道具となっている。
{{reflist|group="注"}}
== 参考文献 ==
{{reflist}}
 
{{economy-stub}}