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'''カタラン予想'''（ -よそう）とは、[[1844年]]にベルギー人の数学者・[[w:en:Eugène Charles Catalan\|Eugène Charles Catalan]]が提唱した予想である。[[2002年]]に[[プレダ・ミハイレスク]]によりその完全な[[証明]]が行われた<ref>Mihăilescu(2004). これに先立ってBull. AMS誌の記事 Metsänkylä, Tauno (2003) でその概略が解説されている。</ref>。2005年に、自身で証明を簡単化した。<ref>[http://www.uni-math.gwdg.de/preda/mihailescu-papers/catber.pdf REFLECTION, BERNOULLI NUMBERS AND THE PROOF OF CATALAN'S CONJECTURE](英語)</ref>。 == 内容 == 次の[[ディオファントス方程式\|不定方程式]]が存在する場合、 :''x{{sup\|a}}'' − ''y{{sup\|b}}'' = 1 :''x''~~<sup>~~, ''a''~~</sup> −~~, ''y''~~<sup>~~, ''b''~~</sup>~~ => 1 :''x'', ''a'', ''y'', ''b'' > 1　　▼ 上記を満たす[[自然数]]解の組み合わせは ▲:''x'' = 3, ''a'' = 2, ''y'' = 2, ''b'' ~~>~~= 1　　3 ~~:''x'' = 3, ''a'' = 2, ''y'' = 2, ''b'' = 3.~~ だけであるというものである。 == 外部リンク == * [http://www.maa.org/mathland/mathtrek_06_24_02.html Ivars Peterson's MathTrek] * Metsänkylä, Tauno (2003). [http://www.ams.org/bull/2004-41-01/S0273-0979-03-00993-5/S0273-0979-03-00993-5.pdf Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved], ''Bull. (New Ser.) Amer. Math. Soc.'' '''41''' (1), 43–57. == 参考文献 == Section D9 in Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition, Springer-Verlag, 2004. T. N. Shorey and R. Tijdeman, Exponetial Diophantine Equations, Cambridge Tracts in Mathematics, 87, Cambridge University Press, 1986. <references /> == 関連項目 == [[立方数]] [[平方数]]

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カタラン予想 (編集)

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