「正則行列」の版間の差分

 
== 性質 ==
* 正方行列が正則である、すなわち逆行列を持つための[[同値|必要十分条件]]は、その[[行列式]]が0でないこと det(A) ≠ 0 である。また、正則な正方行列 ''A'' について<math>|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}</math>が成り立つ
* 逆行列はただ1つだけ存在し、2つ以上存在することはない。
* 正則な正方行列 ''A'' について[[行列式]]<math>|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}</math>が成り立つ。
* <math>(A^{-1})^{-1}=A</math>
* <math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math>
* A を正則行列とすると、 Ax = 0 を満たすベクトル x は x = A<sup>-1</sup> 0 = 0 のひとつだけである。(逆に ゼロ以外のベクトル x が Ax=0 を満たすならば行列 A は正則ではない)
* ''X'' が[[冪零行列]]ならば (''I''-''X'') は正則で、逆行列は<math>1+X+ \dots +X^m</math>の形で得られる。
* 正則行列の各列ベクトルは互いに[[線型結合|一次独立]]である。同様に各行ベクトルは互いに一次独立である。一般に、ある体 ''K'' 上の ''n'' 次正則行列の総数は、''K'' 上のある ''n'' 次元[[ベクトル空間]] ''V'' における順序付けられた基底の総数に等しい。