「調和振動子」の版間の差分

'''調和振動子'''（ちょうわしんどうし、[[英語]]：harmonic{{lang-en-short|harmonic oscillator）oscillator}}）とは、[[ポテンシャル]]の大きさが中心からのユークリッド距離の２2乗に比例する[[振動運動]]を行う振動子のことである。平たく言えば、理想的な[[ばね|バネ]]につながれた物体の振動のこと。運動の自由度によって一次元、二次元、三次元調和振動子がある。

特徴の一つは、振幅ないしそれに対応する物理量によることなく定まった周期で振動することである。調和振動子は一点を中心とする振動の単純なモデルであり、実際の問題では複雑なポテンシャルを調和振動子で置き換えることもよくある。たとえば[[結晶]]で、格子点にある原子の[[熱振動]]を三次元調和振動子とみなして、[[比熱]]などの理論値を計算することができる。

[[ばね定数]] ''k'' のばねにつながれた[[質量]] ''m'' の物体を考える。ばねの自然長から ''x'' だけ引っ張り、手を離すと物体は振動を始める。物体にかかる[[力]]は -''-kx'' である。[[ニュートンの運動方程式]] <math>mx''=-kx</math> を解くと、一般解は次のようになる（' は時間微分）。

{{Indent|:<math>x(t)=A\cos\omega t+B\sin\omega t,</math><br />

:<math>\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}</math> : 調和振動子の角振動数（固有円振動数）}}

''A'' , ''B'' は定数で、初期条件によって決まる。振動数 ''ω''&omega; は、ばね定数と物体の質量には依存するが、振幅などの初期条件（これは定数''A'' , ''B'' に関係）にはよらない。

[[振動運動]]にさらに詳しい議論があるは[[自由振動]]を参照。

調和振動子の[[ポテンシャル ]]''U'' は次のようになる。

{{Indent|:<math>U=\frac{1}{2}kq^2</math>}}

ただし ''q'' はばねの自然長からのずれである。[[ハミルトニアン]] ''H'' = ''T'' + ''U'' を求めれば、運動は[[ハミルトン力学|ハミルトンの正準方程式]]にしたがう。''T'' は[[運動エネルギー]]、''p'' は運動量である。

{{Indent|:<math>H=\frac{1}{2m}p^2+\frac{k}{2}q^2</math>}}

ところで、この系がある一定の[[力学的エネルギー]] （'''振動エネルギー'''とも言う）''E'' を持っているとき、ハミルトニアン ''H'' の値は ''E'' にほかならない。このとき''q'' と ''p'' を座標軸にとってみると、上の式は[[楕円]]の方程式になっている。このように座標空間と運動量空間からなる空間を[[位相空間 (物理)|相空間]]と呼び、ある時刻の系の状態は位相空間内の一点であらわされるのだが、その点が動いた軌跡のことを[[トラジェクトリー]]と呼ぶ。

{{Indent|:<math>\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{1}{2}kx^2\right]\phi(x)=E\phi</math>}}

この方程式は煩雑だが解析的に解くことができ、その解（エネルギー固有状態）は[[エルミート多項式]]''H_n'' を使って以下のように表される。

{{Indent|:<math>\phi_n(x)=AH_n(\xi)\exp\left(-\frac{\xi^2}{2}\right)</math>

{{Indent|ただし、<math>\xi=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x</math>}}、''A'' }}は[[規格化]]定数である。

{{Indent|:<math>E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right) \qquad (n=0,1,2,...)</math>}}

{{Indent|:<math>E_N=\hbar\omega\left(N+\frac{3}{2}\right)</math>}}

''N'' は三方向の量子数 (nx''n_x'' ,ny ''n_y'' ,nz ''n_z'' ) の和で、また ''E_N'' は、<math>\frac{(''N'' +2)(''N'' +1)}{/2}</math> 重に[[縮退]]している。これは縮退が見られなかった一次元の場合とは明らかに異なる。

{{Indent|:<math>\hat{a}=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(+\frac{\partial}{\partial x}+\frac{m\omega}{\hbar}x\right)</math> : 消滅演算子<br />

:<math>\hat{a}^\dagger=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(-\frac{\partial}{\partial x}+\frac{m\omega}{\hbar}x\right)</math> : 生成演算子}}

これをつか使うと、上述のシュレディンガー方程式は次のように書きなおせる。

{{Indent|:<math>\hbar\omega\left(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\frac{1}{2}\right)\phi=E\phi</math>}}

1/2の項が出るのは演算子に微分が含まれているためである。エネルギー固有値との比較から、<math>\hat{a}^\dagger\hat{a}</math>の固有値は ''n'' とに等しいことがわかる。よって<math>\hat{a}^\dagger\hat{a}</math>を'''[[数演算子]]'''と呼び<math>\hat{n} \ </math>で表す。

:<math>\hat{a}^\dagger\phi_n(x)=\sqrt{n+1\,}\phi_{n-+1}(x)</math><br />

:<math>\hat{a}^\dagger\phi_nphi_0(x)=\sqrt{n+1\,}\phi_{n+1}(x)0</math><br />