「傾き (数学)」の版間の差分
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{{about||物理的形状の水平距離当たりの傾き|縦断勾配|ベクトル解析における勾配|勾配 (ベクトル解析)}}
{{出典の明記|date=2012年8月}}
[[File:Slope picture.svg|right|thumb|平面上の直線の傾きは、垂直移動距離を水平移動距離で割った ''m'' = ''Δy''/''Δx'' で定義される]]
[[数学]]における[[平面]]上の[[直線]]の'''傾き'''（かたむき、{{lang-en-short|''slope''}}）あるいは'''勾配'''（こうばい、{{lang-en-short|''gradient''}}）は、その傾斜の具合を表す数値である。ただし、鉛直線に対する傾きは定義されない。
傾きは普通、直線上の2点間の'''変化の割合'''、すなわち''' ''x'' の増加量''' に対する ''' ''y'' の増加量'''の比率として定義される。また、[[同値]]な定義として、傾き ''m'' は傾斜角 ''θ'' として
:
と書くことができる。
[[曲線]]上の[[微分法|微分可能]]な1点に対しても、傾斜の具合を表す数値として傾き（'''[[微分係数]]'''）が定義できる。
傾きの概念は、[[地理学]]および[[土木工学]]における[[斜度]]や[[勾配]]（たとえば[[道路]]など）に直接応用される。
== 定義 ==
''xy''平面上の直線の傾きは、''y''座標の増加量に対する ''y''座標の増加量の比率と定義される。式で書けば、直線の傾き ''m'' は
:<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>
で記述される。ここで、ギリシャ文字 "[[Δ]]"（デルタ）は、数学において「増加量」や「差分」を表す符牒としてよく用いられる。
増加量とは[[減法|差]]のことなので、直線上の2点を任意に取り、それらを (''x''{{sub|1}}, ''y''{{sub|1}}), (''x''{{sub|2}}, ''y''{{sub|2}}) とする。このとき、''m'' は
:
で求められる。
これらの等式から分かるように、鉛直線（''y''軸に平行な直線）の傾きは、[[零除算]]となり、定義されない。
直線が2点 P(1, 2), Q(13, 8) を通るとする。増加量として、P に対する Q の増加量と考えるか、Q に対する P の増加量と考えるかで符号の違いが現れるが、それらの[[除法|商]]である傾きとしてはどちらも変わらない。ここでは P に対する Q の増加量を考える。
:''x''の増加量 ''Δx'' = 13 − 1 = 12
:''y''の増加量 ''Δy'' = 8 − 2 = 6
傾きとは、''y''座標の増加量に対する ''y''座標の増加量の比率のことなので、傾きを ''m'' とすると、
:<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{y_2 -y_1}{x_2 -x_1} =\frac{8-2}{13-1}=\frac{6}{12} =\frac{1}{2}</math>
である。
別な例として、直線が2点 (4, 15), (3, 21) を通るならば、傾きは
:<math>m =\frac{21-15}{3-4} =\frac{6}{-1} =-6</math>
である。
== 傾斜角による記述 ==
傾斜の度合いを表す傾きは、傾斜角と関係が深い。たとえば、傾き 1 の直線の傾斜角は 45°である。傾き −1 ならば、傾斜角を 0°～180° の範囲で考えると 135°、−90°～90° の範囲で考えると −45° である。なお、鉛直線の傾きは定義されなかったが、傾斜角は定義され、90°である。
傾斜角とは、直線と ''x''軸の正の部分が作る角（反時計回りが正の向き）と定義される。取り得る範囲として 0° ≤ ''θ'' < 180° または −90° < ''θ'' ≤ 90° の2つの流儀がある（状況に応じて使い分ける）。
直線の傾きを ''m''、傾斜角を ''θ'' とすると、2つの間には、[[三角法]]における[[正接函数]]を用いて
:<math>m=\tan \theta \ (\iff \theta = \arctan m)</math>
の関係がある。
== 傾きの性質 ==
*異なる2直線が平行であるための必要十分条件は、それらの傾きが一致すること、または、傾きがともに定義されないことである。
*異なる2直線が[[直交]]するための必要十分条件は、傾きの積が −1、または、傾きが 0 と定義されない場合であることである。
::たとえば、傾き −2 の直線に垂直な直線の傾きは <math>\tfrac{1}{2}</math> である。
== 1次関数における傾き ==
=== 傾き・切片 ===
''y'' が ''x'' の[[1次関数]]であるとする。このとき、''x'' と ''y'' には ''y'' = ''ax'' + ''b'' と表され、その[[グラフ (関数)|グラフ]]は直線となる。この直線の傾きは ''a'' に等しい。
:（証明）
:''y'' = ''ax'' + ''b'' の[[グラフ]]上の任意の2点 P, Q を取る。P, Q の ''x''座標をそれぞれ ''x''{{sub|1}}, ''x''{{sub|2}} とすると、P, Q の座標は
:P(''x''{{sub|1}}, ''ax''{{sub|1}} + ''b''), Q(''x''{{sub|2}}, ''ax''{{sub|2}} + ''b'')
:である。
:''x''の増加量 ''Δx'' = ''x''{{sub|2}} − ''x''{{sub|1}}
:''y''の増加量 ''Δy'' = (''ax''{{sub|2}} + ''b'') − (''ax''{{sub|1}} + ''b'')
:= ''ax''{{sub|2}} − ''ax''{{sub|1}}
:= ''a''(''x''{{sub|2}} − ''x''{{sub|1}})
:傾き ''m'' は、
:<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{a(x_2 -x_1)}{x_2 -x_1} =a</math>
:（証明終）
1次関数 ''y'' = ''ax'' + ''b'' において、''a'' を傾きと呼ぶのに対して、''b'' を''' [[切片|''y''切片]]'''と呼ぶ。1次関数の ''y''切片は、グラフ（直線）が ''y'' 軸と交わる点の ''y'' 座標に等しい。したがって、''y'' = ''ax'' + ''b'' の形の方程式を「傾き・切片標準形」と呼ぶこともある。
1次関数 ''y'' = ''ax'' + ''b'' のグラフは、''y''軸平行の直線にはなりえないことに注意が必要である。
=== 1次関数の決定 ===
1次関数の傾き ''m'' と直線上の1点 (''x''{{sub|1}}, ''y''{{sub|1}}) が既知ならば、1次関数の方程式は
:<math>y-y_1 =m(x-x_1)</math>
で与えられる（これを[[平面直線の標準形|1点・傾き標準形]]と呼ぶことがある）。
（例）
1次関数のグラフが2点 (2, 8), (3, 20) を通るとする。1次関数の傾き ''m'' は
:<math>\frac{20-8}{3-2} =12</math>
だから、直線の方程式は1点・傾き標準形で
:''y'' − 8 = 12(''x'' − 2)
と求まる。これはつまり
:''y'' = 12''x'' − 16
である。
=== 直線の一般形 ===
前述の通り、1次関数のグラフは全ての直線を表さない。2変数[[線型方程式]]の一般形
:<math>ax+by+c=0</math>
は全ての直線を表す。''b'' ≠ 0 ならば、傾きが存在し、<math>-\tfrac{a}{b}</math> である。
== 微分係数 ==
[[File:Graph of sliding derivative line.gif|right|frame|各点における[[微分係数]]は、その点での曲線の[[接線]]となる直線の傾きである。各点に対して図の直線は常に曲線（青）の接線を表し、その傾きとして微分係数が示される。接線は、微分係数が正のときは緑、負のときは赤、0 のときは黒で表されている。]]
曲線上の1点に対しても、そこで微分可能ならば、傾斜の具合を表す数値としての傾きが定義できる。
''Δx'' と ''Δy'' を曲線上の2点間のそれぞれ ''x''座標、''y''座標の増加量とすると、その2点を通る直線（[[弦 (数学)|割線]]という）の傾き ''m'' は
:<math>
である。この2点間を狭めたときの ''m'' の[[極限]]が、そこを直線として近似した傾きと考えられる。これは接線の傾きであり、'''微分係数'''と呼ばれる。場所 ''x'' を変数とした
:<math>\frac{dy}{dx} =\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>
を、曲線の'''[[導函数|導関数]]'''と呼ぶ。
== 関連項目 ==
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== 外部リンク ==<!--
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{{DEFAULTSORT:かたむき}}
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