「コットンテンソル」の版間の差分
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[[微分幾何学]]では
最近、3-次元空間の研究では非常に注目されている。その理由は、コットンテンソルは[[アインシュタイン方程式]]の中で物資の{{仮リンク|エネルギー・モーメントテンソル|en|energy-momentum tensor}}と[[リッチテンソル]]の間の関係を制限し、[[一般相対論]]の[[ハミルトン力学|ハミルトニアン定式化]]で重要な役割を果たすからである。
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== 定義 ==
座標を使って
:<math>C_{ijk} = \nabla_{k} R_{ij} - \nabla_{j} R_{ik} + \frac{1}{2(n-1)}\left( \nabla_{j}Rg_{ik} - \nabla_{k}Rg_{ij}\right).</math>
となる。コットンテンソルは[[微分形式|2-形式]]に値を持つべクトルとみなすことができ、
:<math>C_i^j = \nabla_{k} \left( R_{li} - \frac{1}{4} Rg_{li}\right)\epsilon^{klj},</math>
へ変換することができる。これを'''コットン・ヨークテンソル'''と呼ぶこともある。
== 性質 ==
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:<math>{\widetilde{R}^{\lambda}}_{\mu\alpha\beta}={R^{\lambda}}_{\mu\alpha\beta}+\nabla_{\alpha}S^{\lambda}_{\beta\mu}-\nabla_{\beta}S^{\lambda}_{\alpha\mu}+S^{\lambda}_{\alpha\rho}S^{\rho}_{\beta\mu}-S^{\lambda}_{\beta\rho}S^{\rho}_{\alpha\mu}</math>
<math>n</math> -次元多様体では、[[リッチテンソル]]は縮約したRiemannテンソルで表すことで、次の式
:<math>\widetilde{R}_{\beta\mu}=R_{\beta\mu}-g_{\beta\mu}\nabla^{\alpha}\partial_{\alpha}\omega-(n-2)\nabla_{\mu}\partial_{\beta}\omega+(n-2)(\partial_{\mu}\omega\partial_{\beta}\omega-g_{\beta\mu}\partial^{\lambda}\omega\partial_{\lambda}\omega)</math>
47行目:
:<math> \tilde{C} = C \; + \; \operatorname{grad} \, \omega \; \lrcorner \; W,</math>
となる。右辺の勾配(gradient)の部分は{{仮リンク|ワイルテンソル|en|Weyl tensor}}
===対称性===
62行目:
:<math>\delta W = (3-n) C, \, </math>
ここに <math>\delta</math> は
==参考文献==
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