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[[数学]]あるいは[[物理学]]において'''ドット積'''（どっとせき、''dot product''）あるいは'''点乗積'''（てんじょうせき）とは、[[ベクトル]]演算の一種である.(以下,実ベクト、（[[デカル空間)を'''R'''で表す.n次元ト座標]]の入った）[[ユークリッド空間]](euclidean space)'''R'''<sup>3</sup>（あるいは '''R'''<sup>''n''</sup>）におけいて標準的に定義される初等的な演算[[内積]]のことである.。
== 定義 ==
n3 次元[[実数|実]][[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>n3</sup> の幾何学的ベクトル（[[直線|有向線分]]から位置の概念を取り除いたもの） '''a''', '''b''' に対して,内積、 '''a''' · '''b''' を
:<math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos \theta</math>
二つのベクトルの交角をθとすれば,余弦定理より,
と定めるとこれは一つの実数を定める。ただし θ はベクトルを有向線分と見なしたときに '''a''', '''b''' の成す角であり、 <math>\| </math>·| は'''ベクトルの 長大きさ'''（対応する有向線分の長さ）である。これはすなわち、有向線分 '''b''' を '''a''' 方向へ[[射影|正射影]]したものの 長大きさと '''a''' の 長大きさとの積である。これを '''R'''<sup>3</sup> における'''ドット積'''あるいは'''標準内積'''という。 ▼
:<math>\lVert\boldsymbol{\mathit{a}}\rVert
\lVert\boldsymbol{\mathit{b}}\rVert
\cos\theta=
\frac{1}{2}
\left(\lVert\boldsymbol{\mathit{a}}\rVert^2+
\lVert\boldsymbol{\mathit{b}}\rVert^2-
\lVert\boldsymbol{\mathit{b}}-\boldsymbol{\mathit{a}}\rVert^2\right)
\qquad\left(0\le\theta\le\pi\right)</math>
点とは0次元に相当し,位置のみを示し長さを持たない.長さ0で方向を持たない特殊なベクトル'''零ベクトル'''と称される.
と定義する.この両辺を二つのベクトル'''a''','''b'''の内積といい,
:<math>(\boldsymbol{\mathit{a}},\boldsymbol{\mathit{b}})=
(\boldsymbol{\mathit{a}}|\boldsymbol{\mathit{b}})=
\boldsymbol{\mathit{a}}\!\cdot\!\boldsymbol{\mathit{b}}
</math>
などと表わす.前2つの表記は主に'''数学'''で用いられ,後者は主に'''理工学'''で用いられる.
▲これは一つの実数を定める。ただし θ はベクトルを有向線分と見なしたときに '''a''', '''b''' の成す角であり、<math>\|</math> は'''ベクトルの長さ'''（対応する有向線分の長さ）である。これはすなわち、有向線分 '''b''' を '''a''' 方向へ[[射影|正射影]]したものの長さと '''a''' の長さとの積である。これを '''R'''<sup>3</sup> における'''ドット積'''あるいは'''標準内積'''という。
また一方で、ベクトルを '''a''' = (''a''<sub>''x''</sub>, ''a''<sub>''y''</sub>, ''a''<sub>''z''</sub>), '''b''' = (''b''<sub>''x''</sub>, ''b''<sub>''y''</sub>, ''b''<sub>''z''</sub>)
のように成分表示した場合、（第二）[[余弦定理]]を用いることで
:<math> (\ boldsymbol{\mathitmathbf{a} },\ boldsymbol{cdot\ mathitmathbf{b} }) = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z</math> ▼
が成り立つことが示される。 また、ゆえにこちらを 内積の定義と して、することもある。▼▲:<math>(\boldsymbol{\mathit{a}},\boldsymbol{\mathit{b}}) = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z</math>
▲が成り立つことが示される。また、こちらを内積の定義として、
:<math>\cos\theta=\frac{(\boldsymbol{\mathit{a}},\boldsymbol{\mathit{b}})}{\lVert\boldsymbol{\mathit{a}}\rVert
\lVert\boldsymbol{\mathit{b}}\rVert}
</math>
を角度の定義とすることもある。
== ノルム ==
ベクトルの自分自身とのドット積の（正の）[[平方根]]
ある任意のベクトル'''a'''を考えたとき,具体的にベクトルを '''a''' = (''a''<sub>''x''</sub>, ''a''<sub>''y''</sub>, ''a''<sub>''z''</sub>) と成分表示すれば,そのベクトルの('''a''','''a''')の'''負でない'''[[平方根]] ▼:<math> ||\mathbf{a}|| := \sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}</math>
▲ある任意のを'''ベクトル のノルム''' a'''を考えたと き,いう。具体的にベクトルを '''a''' = (''a''<sub>''x''</sub>, ''a''<sub>''y''</sub>, ''a''<sub>''z''</sub>) と成分表示 すしてやれば ,そのベクトルの('''a''','''a''')の'''負でない'''[[平方根]]
:<math> ||\ lVert\boldsymbol{\mathitmathbf{a} }\rVert|| = \sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}</math> ▼と書くことができる。これはベクトル '''a''' の "大きさ" である。
ドット積とノルムを使えば、2 つのベクトル '''a''' = (''a''<sub>''x''</sub>, ''a''<sub>''y''</sub>, ''a''<sub>''z''</sub>), '''b''' = (''b''<sub>''x''</sub>, ''b''<sub>''y''</sub>, ''b''<sub>''z''</sub>) と のなす ると,角は▼:<math>\lVert\boldsymbol{\mathit{a}}\rVert=
:<math>\cos\theta = \frac{\langle\mathbf{a}, \mathbf{b}\rangle}{||a||\,||b||}</math>
\sqrt{(\boldsymbol{\mathit{a}},\boldsymbol{\mathit{a}})}=
から求めることが 成立つ.可能である。逆に[[ベクトルのなす角]]をこの式で定義すれば、その角はベクトルを有向線分と見なした場合のそれらの成す角そのものと一致する。 ▼
\sqrt{\boldsymbol{\mathit{a}}\cdot\boldsymbol{\mathit{a}}}</math>
▲:<math> \lVert\boldsymbol{\mathit{a}}\rVert = \sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}</math>
をベクトルの'''ノルム'''または'''長さ'''という.
▲ドット積とノルムを使えば、2 つのベクトル '''a''','''b''' = (''b''<sub>''x''</sub>, ''b''<sub>''y''</sub>, ''b''<sub>''z''</sub>)とすると,
:<math>\cos\theta = \frac{(\boldsymbol{\mathit{a}}, \boldsymbol{\mathit{b}})}
{\lVert \boldsymbol{\mathit{a}}\rVert\cdot\lVert \boldsymbol{\mathit{b}}\rVert}</math>
▲が成立つ.逆に[[ベクトルのなす角]]をこの式で定義すれば、その角はベクトルを有向線分と見なした場合のそれらの成す角そのものと一致する。
したがってドット積は（ノルムを通して）、通常のユークリッド空間における長さ、[[角度]]に一致する計量を矛盾なく定めるものである。つまり、'''R'''<sup>3</sup> でユークリッドの幾何学を考えることと、ドット積を定めることとが等価であることがわかる。
== ベクトルの直交 ==
:<math>(\boldsymbol{\mathit{a}}, \boldsymbol{\mathit{b}})=0
</math>
となるとき、ベクトル'''a'''と'''b'''は'''直交する'''という。
これは
:<math>(\boldsymbol{\mathit{a}}, \boldsymbol{\mathit{b}})=\lVert\boldsymbol{\mathit{a}}\rVert
\lVert\boldsymbol{\mathit{b}}\rVert
\cos\theta</math>
の式で<math>\cos\theta=0</math>すなわち<math>\theta=\pi/2</math>に対応している。
また、零ベクトルは任意のベクトルと直交している。
== 性質 ==
== 関連項目 ==
*[[ベクトル (数学)]]
* [[ベクトル解析]]
* [[クロス積]]
*[[線形代数学]]
[[Category:ベクトル解析|とつとせき]]
[[Category:初等数学|とつとせき]]
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