「単位ベクトル」の版間の差分

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sty 含め記述を整理。内容的におかしいところは削ったが、不可解な記述は意図が分からないのでコメントアウト。それにしても酷いね……
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m (sty 含め記述を整理。内容的におかしいところは削ったが、不可解な記述は意図が分からないのでコメントアウト。それにしても酷いね……)
'''単位ベクトル'''((たんい-ベクトル、<em lang=en>unit vector)</em>)は、長さ(ノルム)が 1 の[[ベクトル (数学)|ベクトル]]のうち、長さが 1 のもの。長さは、[[原点]]からの距離([[ノルム]])などによって定義される
 
二つのベクトル '''a''', '''e''' があって、'''e''' が単位ベクトル( |'''e'''| = 1)であるならば、二つのベクトルのなす角を &theta; とおけば、'''a''' &middot; '''e''' = |'''a'''| cos &theta; となって、'''a''' の '''e''' 方向の成分を取り出すことができる。ベクトルを分解してある特定方向の成分だけを調べるのに、単位ベクトルを用いれば内積の代数的計算に結びつけることができるのである。単位ベクトルは、'''e''' などで表されることが多い。力学や電磁気などの理工学的な分野などではベクトル '''r''' に対して、'''r''' と同方向の単位ベクトルを
二つのベクトル <math>\boldsymbol{\mathit{a}},\boldsymbol{\mathit{e}}</math> があったときに、<math>\boldsymbol{\mathit{e}}</math> が単位ベクトルである、すなわち <math>|\boldsymbol{\mathit{e}}|=1</math> であるならば、二つのベクトルのなす角を &theta; とおけば、
:<math>\mathbf{\hat{r}}=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}=\frac{\mathbf{r}}{r}</math>
などと表す。ここで、''r'' = |'''r'''| は '''r''' の長さ。
 
また、曲線や曲面に沿って動く質点などの動きをベクトルで捉えたとき、主な方向へ向かう単位ベクトルとして[[接線]]単位ベクトル(単位接ベクトル)、[[法線]]単位ベクトル(単位法ベクトル)、[[従法線]]単位ベクトル(単位従法ベクトル)のように、~単位ベクトルの形でなどが挙げられる。そのベクトルの絶対値が 1 であることを表すために「単位ベクトル」もあいう語が付されている。
 
''n'' 次元ベクトル空間に基底をとれば座標として数ベクトル空間が現れるから、''n'' 個の一次独立な単位ベクトル
<math>
:<math>\boldsymbolmathbf{\mathit{e_1}e}_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix},
\boldsymbol{\mathit{a}}\cdot\boldsymbol{\mathit{e}}=
\boldsymbolmathbf{\mathit{e_2}e}_2 = \begin{pmatrix}0\\1\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix},\cdotsldots,
(\boldsymbol{\mathit{a}},\boldsymbol{\mathit{e}})=
\boldsymbolmathbf{\mathit{e_n}e}_n = \begin{pmatrix}0\\0\\ \vdots\\ 1\end{pmatrix}</math>
\lVert\boldsymbol{\mathit{a}}\rVert\!\cdot\!
が取れる。
\lVert\boldsymbol{\mathit{e}}\rVert\cos\theta</math>
<!-- ||e|| = &radic; 1+1+&hellip;+1 がどうしたって? -->
<!--
物理では一般的な座標は空間の[[3次元]]と時間を1次元として考慮するため(単純に,3+1)4次元となる.理工学ではよく位置を表すのにアルファベットのrを用い,時間はtを用いる.x,y,zはそれぞれの空間の座標を表している.そのため
:<math>\mathbf{A}(\mathbf{r}(x,y,z),t)=\mathbf{A}(\mathbf{r},t)</math>
 
のようになる.時間と言うのは特殊な空間に当たるので,
単位ベクトルは、空間座標のみで考慮する。--><!-- なるという A はいったい何が何になったの? 考えないならなんで時間 t を持ち出したの? -->
 
''xyz''-空間を扱うときには、''x'', ''y'', ''z'' の各軸方向の単位ベクトルをそれぞれ '''i''', '''j''', '''k''' と記すことが慣習である。これらを用いて空間ベクトル '''r''' は
となる.表記の中で,最もよく使われると思われるのは左辺と思われるが,数学では中央の形も用いられる.
:<math>\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}</math>
<math>\lVert\boldsymbol{\mathit{a}}\rVert</math>は,ベクトルの'''長さ'''を表している.
と表せる。大きさや '''r''' 方向の単位ベクトルはそれぞれ
 
:<math>|\boldsymbol{\mathitmathbf{r}}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>
<math>\boldsymbol{\mathit{a}}</math> の <math>\boldsymbol{\mathit{e}}</math> 方向の成分を取り出すことができる.
:<math>\hat\mathbf{r} = \frac{1}{|\mathbf{r}|}(x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k})
このように、ベクトルのある特定方向の成分だけを抽出したいときに使う場合が多い.
= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\boldsymbol{\mathitmathbf{i}}+
 
\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\boldsymbol{\mathitmathbf{j}}+
単位ベクトルは、数学では<math>\boldsymbol{\mathit{e}}</math> で表されることが多い.
\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\boldsymbol{\mathitmathbf{k}}=
 
一方,力学や電磁気などの理工学的な分野ではある方向を向いた(単位ベクトルでない)ベクトルを<math>\boldsymbol{\mathit{r}}</math>としたとき,<math>\boldsymbol{\mathit{\hat{r}}}</math>(<math>\boldsymbol{\hat{}}</math>は,カレット 'caret' と言う.)と表記することが多い.数学の場合もカレットを表記する場合がある.
 
 
<math>\lVert\boldsymbol{\mathit{\hat{r}}}\rVert=\frac{\boldsymbol{\mathit{r}}}{|\boldsymbol{\mathit{r}}|}=\frac{\boldsymbol{\mathit{r}}}{r}</math>
 
 
と言う対応となる.
また、[[接線]]単位ベクトル(単位接ベクトル)、[[法線]]単位ベクトル(単位法ベクトル)、[[従法線]]単位ベクトル(単位従法ベクトル)のように、~単位ベクトルの形でそのベクトルの絶対値が 1 であることを表すこともある。
 
==数学と物理の単位ベクトル==
数学の場合,n次元ベクトル空間<math>\boldsymbol{\mathit{V^n}}</math>まで考慮するため,座標系を表現するため単位ベクトルもn個現れるため,
 
 
<math>\boldsymbol{\mathit{e_1}}=\begin{pmatrix}1\\0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix},
\boldsymbol{\mathit{e_2}}=\begin{pmatrix}0\\1\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix},\cdots,
\boldsymbol{\mathit{e_n}}=\begin{pmatrix}0\\0\\ \vdots\\ 1\end{pmatrix}</math>
 
 
となり,長さは
 
 
<math>\lVert\boldsymbol{\mathit{e}}\rVert=
\sqrt{\lVert\boldsymbol{\mathit{e}}_1\rVert^2+
\lVert\boldsymbol{\mathit{e}}_2\rVert^2+
\lVert\boldsymbol{\mathit{e}}_3\rVert^2+\cdots+
\lVert\boldsymbol{\mathit{e}}_n\rVert^2}</math>
 
のようになる.
 
物理では一般的な座標は空間の[[3次元]]と時間を1次元として考慮するため(単純に,3+1)4次元となる.理工学ではよく位置を表すのにアルファベットのrを用い,時間はtを用いる.x,y,zはそれぞれの空間の座標を表している.そのため
 
<math>\boldsymbol{\mathit{A}}(\boldsymbol{\mathit{r}}(x,y,z),t)=
\boldsymbol{\mathit{A}}(\boldsymbol{\mathit{r}},t)
</math>
 
のようになる.時間と言うのは特殊な空間に当たるので,
単位ベクトルは,空間座標のみで考慮する.それぞれの座標軸(x軸,y軸,z軸)方向に'''平行な長さ1'''のベクトルを考える.そして,x軸方向は<math>\boldsymbol{\mathit{i}}</math>
,y軸方向は<math>\boldsymbol{\mathit{j}}</math>
,z軸方向は<math>\boldsymbol{\mathit{k}}</math>と表記する.よってこれからrは次に様になることが分かる.
 
<math>\boldsymbol{\mathit{r}}=
x\boldsymbol{\mathit{i}}+
y\boldsymbol{\mathit{j}}+
z\boldsymbol{\mathit{k}}</math>
 
<math>|\boldsymbol{\mathit{r}}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>
 
 
<math>\boldsymbol{\mathit{\hat{r}}}=
\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\boldsymbol{\mathit{i}}+
\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\boldsymbol{\mathit{j}}+
\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\boldsymbol{\mathit{k}}=
\frac{1}{|\boldsymbol{\mathit{r}}|}
(x\boldsymbol{\mathit{i}}+y\boldsymbol{\mathit{j}}+z\boldsymbol{\mathit{k}})</math>
 
==関連項目==
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