「対角化」の版間の差分

(数値的対角化手法)
-->
== 正方行列の対角化可能条件 ==
== テープリッツ(Toeplitz)の定理 ==
=== 自己共役行列は対角化可能 ===
{{Quotation |
正方行列 N=== 対角化可能であるこ行列の必要充分条件 N が正規行列(N*N = NN* が成り立つ行列)であることである。 ===
{{Equation box 1
|indent=:
|title== '''テープリッツ(Toeplitz)の定理 =='''
|equation=正方行列 N が対角化可能 ⇔ N は正規行列(N*N = NN*)
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|background colour = #ECFCF4
}}
;(証明)
N が対角化可能であれば正規行列であることは明らか。N が正規行列であれば N は対角化可能であることを示す。
:<math>R = \frac{N + N^*}{2} , J = \frac{N - N^{*}}{2i}</math>
と正方行列 R と J を定める。このとき R , J はエルミート自己共役行列となることから対角化可能。
:<math>N = R + iJ , N^{*} = R - iJ</math>
であることから、R , J が同時対角化可能であることを示せば良い。
より
:<math>R^{2} + J^{2} + iJR - iRJ = R^{2} + J^{2} - iJR + iRJ</math>
:<math>JRiJR - RJiRJ = RJ - JRiJR + iRJ</math> すなわち、<math>[R , J] = 0</math>
したがって、R と J は同時対角化可能であり、N は対角化可能■
 
== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}