「カプレカ数」の版間の差分

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'''カプレカ数'''(カプレカすう、Kaprekar Number)とは、次のいずれかで定義される[[整数]]である。
# 2乗して前の部分と後ろの部分に分けて和を取ったとき、元の値に等しくなるもの
# 桁を並べ替えて最大にしたものから最小にしたものの差を取ったとき、元の値に等しくなるもの
 
名前は[[インド]]の[[数学者]][[w:D. R. Kaprekar|D. R. カプレカ]]にちなむ。
 
この定義でのカプレカ数は、小さな順に
: [[1]], [[9]], [[45]], [[55]], [[99]], [[297]], [[703]], [[999]], [[2223]], [[2728]], [[4879]], [[4950]], [[5050]], [[5292]], …({{OEIS|id=A006886}})
である。
 
 
例えば、7641 - 1467 = 6174 であるから、[[6174]] はこの意味でのカプレカ数であり、4桁では唯一のものである。この定義でのカプレカ数は、小さな順に
: [[0]], [[495]], 6174, 549945, 631764, 63317664, 97508421, 554999445, 864197532, 6333176664 … ({{OEIS2C|id=A099009}})
である。なお、容易に分かるように、この定義でのカプレカ数は全て[[9]]の[[倍数]]である。
 
最初の数として 2005 を取り、上記の操作を繰り返すと
: 5200 - 0025 = 5175
: 7551 - 1557 = 5994
: 9954 - 4599 = 5355
: 5553 - 3555 = 1998
: 9981 - 1899 = 8082
: 8820 - 0288 = 8532
: 8532 - 2358 = 6174
: 7641 - 1467 = 6174
となり、後は 6174 が繰り返される。どのような4桁の数でも最終的に 0 または 6174 になることが確かめられる(1111の倍数のみ0になり,その他は6174になる)。カプレカ自身は4桁の数のみ考察したが、任意の桁で同じことが考えられる。ある与えられた桁数の整数は有限個であるから、この操作の繰り返しにより、必ずループが現れる。その周期が 1 である場合にそれをカプレカ数と呼ぶのである。
 
== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Kaprekar Number|urlname=KaprekarNumber}} - 第1の定義によるカプレカ数
* {{MathWorld|title=Kaprekar Routine|urlname=KaprekarRoutine}} - 第2の定義によるカプレカ数
* [[西山豊]], [http://plus.maths.org/issue38/features/nishiyama/index.html Mysterious Number 6174]
 
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