「ホモロジカルミラー対称性予想」の版間の差分

m
m (→‎ホッジ(Hodge)ダイアモンド: K3曲面のリンク修正)
下の図のダイアモンドは、「ホッジダイアモンド」と呼ばれ、(p,q)-[[微分形式]]の空間の次元 h<sup>p,q</sup> の座標を (p,q) として並べたもので、ダイアモンドの形となる。p = 0,1,2, q = 0,1,2 つまり、2-次元の場合には、
 
''h''<sup>2,2</sup>
''h''<sup>2,1</sup> ''h''<sup>1,2</sup>
''h''<sup>2,0</sup> ''h''<sup>1,1</sup> ''h''<sup>0,2</sup>
''h''<sup>1,0</sup> ''h''<sup>0,1</sup>
''h''<sup>0,0</sup>
 
となる.
1-次元カラビ・ヤウ多様体と見なすことのできる[[楕円曲線]]の場合には、ホッジダイアモンドは非常に簡単で、次のようになる。
 
''1''
''1'' ''1''
''1''
 
[[K3曲面]]の場合には、2-次元のカラビ・ヤウ多様体と見なすことができるが、[[ベッチ数]]が、{1, 0, 22, 0, 1}であるから、K3曲面のホッジダイアモンドは次の図のようになる。
 
''1''
''0'' ''0''
''1'' ''20'' ''1''
''0'' ''0''
''1''
 
ところで、3-次元の場合(この場合を通常は[[カラビ・ヤウ多様体]]と呼ぶ)には、面白いことが起きる。ホッジダイアモンドが対角線(斜め線)を中心線として対称なホッジ数を持つペア M と W が存在することがある。
 
M のダイアモンド:
''1''
''0'' ''0''
''0'' ''a'' ''0''
''1'' ''b'' ''b'' ''1''
''0'' ''a'' ''0''
''0'' ''0''
''1''
 
W のダイアモンド:
''1''
''0'' ''0''
''0'' ''b'' ''0''
''1'' ''a'' ''a'' ''1''
''0'' ''b'' ''0''
''0'' ''0''
''1''
 
この場合には、M と W は[[弦理論]]のA-モデルとB-モデルに対応する。なお、ミラー対称性は、ホモロジカルな次元を入れ替えるだけでなく、ミラーペアの上の[[シンプレクティック多様体|シンプレクティック構造]]と[[複素多様体|複素構造]]を入れ替える。
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