「ホモロジカルミラー対称性予想」の版間の差分

 
== ホッジ(Hodge)ダイアモンド ==
下の図のダイアモンドは、「ホッジダイアモンド」と呼ばれ、(p,q)-[[微分形式]]の空間の次元 h<sup>p,q</sup> の座標を (p,q) として並べたもので、ダイアモンドの形となる。p = 0,1,2,3, q = 0,1,2,3 つまり、23-次元の場合には、
 
h<sup>23,23</sup>
h<sup>23,12</sup> h<sup>1,2,3</sup>
h<sup>23,01</sup> h<sup>12,12</sup> h<sup>01,23</sup>
h<sup>3,0</sup> h<sup>2,2</sup> h<sup>1,02</sup> h<sup>0,13</sup>
h<sup>2,0</sup> h<sup>01,1</sup> h<sup>0,2</sup>
h<sup>1,0</sup> h<sup>0,1</sup>
h<sup>0,0</sup>
 
となる.ミラー対称性では、元の多様体上の (p,q)-[[微分形式]]の空間の次元 h<sup>p,q</sup> とすると、ミラー対称である相手の多様体上の (p,q)-[[微分形式]]の空間の次元は h<sup>n-q,n-p</sup> となる.すなわち、左上から右下への斜線を線対称として折り返したホッジダイアモンドとなる.
となる.
 
1-次元カラビ・ヤウ多様体と見なすことのできる[[楕円曲線]]の場合には、ホッジダイアモンドは非常に簡単で、次のようになる。(p,q) を (n-q,n-p) にいれかえても変わらない.
 
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[[K3曲面]]の場合には、2-次元のカラビ・ヤウ多様体と見なすことができるが、[[ベッチ数]]が、{1, 0, 22, 0, 1}であるから、K3曲面のホッジダイアモンドは次の図のようになる。(p,q) を (n-q,n-p) にいれかえても変わらない.
 
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1990-1991年に、{{harvs||txt| last1=Candelas | first1=Philip | last2=de la Ossa | first2=Xenia C. | last3=Green | first3=Paul S. | last4=Parkes | first4=Linda | year=1991}} は、数え上げ代数幾何学のみならず、数学全体へ大きな影響をもち、{{harvtxt|Kontsevich|1994}}への動機ともなった。この論文の中のクインティックスリーフォールドは次のホッジダイアモンドを持っている。
 
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0 0 0 0
0 1 0 0 101 0
1 101 101 1 1 1 1 1
0 1 0 0 101 0
0 0 0 0
1 1
<!---In 1990-1991, {{harvs||txt| last1=Candelas | first1=Philip | last2=de la Ossa | first2=Xenia C. | last3=Green | first3=Paul S. | last4=Parkes | first4=Linda | year=1991}} had a major impact not only on enumetive algebraic geometry but on the whole mathematics and motivated to {{harvtxt|Kontsevich|1994}}. The quintic threefold in this paper has the following Hodge diamond.-->
 
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