「斜交座標系」の版間の差分

テンソル解析の導入になるような記述を加筆。
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(テンソル解析の導入になるような記述を加筆。)
 
== 2次元平面における斜交座標系 ==
 
2本の[[数直線]]''x'' 、''y'' が定点Oを共通の[[原点]]として、なす角θ ≠ 0°,90°,180°で交わっているとき、その座標系はx軸、y軸からなる斜交座標となる。
座標平面上の全ての点Pは、その点からx軸、y軸に関して[[平行]]線をひくことにより、P(a, b)と一意に表すことができる。
 
== 内積 ==
直交座標系の場合は、2つの[[ベクトル]]<math>\vec{u}=(u_1u_x, u_2u_y), \vec{v}=(v_1v_x, v_2v_y)</math>の[[内積]]はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる:
: <math>\begin{align}\vec{u}\cdot\vec{v} &= u_1u_2u_x u_y+(u_1v_2u_x v_y+u_2v_1u_y v_x)\cos\theta+v_1v_2v_x v_y\\
&= \begin{pmatrix}u_1u_x&u_2u_y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&\cos\theta\\\cos\theta&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1v_x\\v_2v_y\end{pmatrix}\end{align}</math>
 
ここで右辺に現れる行列は、[[計量テンソル]]に一般化される。
 
あるいは次のようにも表現できる<ref>{{cite|和書 |author=W. フリューゲ|translator=後藤学 |title=テンソル解析と連続体力学 |publisher=ブレイン図書出版 |year=1979 |isbn= |pages=3-6}}</ref><ref>''u<sup>i</sup> v<sub>i</sub>'' などには[[アインシュタインの縮約記法]]が適用され、総和記号が省略されていることに注意。</ref>:
:<math>\begin{align}
& \vec{u}\cdot\vec{v} = u^i v_i = u^1 v_1 + u^2 v_2, \\
& (u^1,u^2)=(u_x,u_y),\\
& (v_1,v_2)=(v_x+v_y\cos\theta, v_x\cos\theta+v_y)
\end{align}</math>
このとき、添字が上についている量(''u''<sup>1</sup> など)を'''反変成分'''、下についている量(''v''<sub>1</sub> など)を'''共変成分'''という。各座標軸の方向を向く[[単位ベクトル]]('''共変基底ベクトル''')を<math>\vec{e}_1,\vec{e}_2</math> とすれば、反変成分を用いて
:<math>\vec{u} = u^i\vec{e}_i = u^1\vec{e}_1+u^2\vec{e}_2</math>
と書くことができる。また、'''反変基底ベクトル'''として
* <math>\vec{e}^1</math>:y軸(または<math>\vec{e}_2</math>)に垂直で長さが 1/sin&theta; のベクトル
* <math>\vec{e}^2</math>:x軸(または<math>\vec{e}_1</math>)に垂直で長さが 1/sin&theta; のベクトル
とすれば<ref>これらのベクトルの間には、[[クロネッカーのデルタ]]を用いて、<math>\vec{e}^i\cdot\vec{e}_j = \delta^i_j</math> の関係が成り立つ。</ref>、共変成分を用いて
:<math>\vec{v} = v_i\vec{e}^i = v_1\vec{e}^1+v_2\vec{e}^2</math>
と書くことができる。
 
この例では、計量テンソル''g'' は
:<math>\begin{align}
g_{ij} &= \begin{pmatrix}\vec{e}_1\cdot\vec{e}_1 & \vec{e}_1\cdot\vec{e}_2 \\ \vec{e}_2\cdot\vec{e}_1 & \vec{e}_2\cdot\vec{e}_2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}1 & \cos\theta \\ \cos\theta & 1\end{pmatrix}, \\
g^{ij} &= \begin{pmatrix}\vec{e}^1\cdot\vec{e}^1 & \vec{e}^1\cdot\vec{e}^2 \\ \vec{e}^2\cdot\vec{e}^1 & \vec{e}^2\cdot\vec{e}^2 \end{pmatrix}
= \frac{1}{\sin^2\theta}\begin{pmatrix}1 & -\cos\theta \\ -\cos\theta & 1\end{pmatrix}
\end{align}</math>
となる。
 
上記の議論は<math>\vec{u}, \vec{v}</math> を入れ替えても同様に成り立つ。
 
== 脚注 ==
{{reflist}}
 
== 関連項目 ==