「球」の版間の差分

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{{Otheruses|球(きゅう)|球(たま)|ボール}}
[[画像:Sphere.png|thumb|球]]
'''球'''(きゅう、{{lang-en-short|ball}})あるいは'''球体'''(きゅうたい、{{lang-en-short|solid sphere}})とは、空間上のある 一定点から一定の距離にあるすべての点の[[集合]]である[[球面]] (sphere)(sphere) とその内部にある点からなる集合。ここで用いた定点を「[[]]'''[[中心]]'''」、一定の距離を「[[]]'''[[半径]]'''」と呼ぶ。[[中心]]を通る直線(中心線)から、[[球面]]が切り取る線分を「[[]]'''[[直径]]'''」と呼び、その長さは[[半径]]の2倍に等しい。[[球面]]のことを「[[]]の表面」あるいは単に[[]]と呼ぶことがある。通常は[[3次元]]空間にあるものを指す場合が多い。
 
== 3次元空間の球 ==
* 球は、半円をその直径を軸として回転させることによって得られる[[回転体]]の一種である。
* 球と平面が接するとき、その交わりは平面上の1点となって現れる。この点を球と平面の「接点」、平面を球の接平面」と呼ぶ。球の中心から接平面までの距離は、球の半径に等しい。球の中心からと接点を結んだ半径(接点に引いた半径は、接平面と直交する。
* 球と平面が交わるとき、その交わりは平面上の[[円]]となって現れる。この円を球と平面の「交円」、平面を球の割平面」と呼ぶ。球の中心から割平面までの距離は、球の半径よりも短い。交円の中心から割平面に立てた垂線を「交円の軸」と呼ぶ。交円の軸は、球の中心を通る。特に、割平面が球の中心を通るとき、交わり円の半径は最大となり、このときの交円を「大円」と呼ぶ。大円の半径は、球の半径に等しい。球面上を通って、球面上の2点を結ぶ経路の最短は、大円の弧となる。大円以外の交円を「小円」とよぶ。割平面によって切り取られる[[球面]]の一部を「球冠」といい、球冠と割平面によって囲まれた立体を「球欠」と呼ぶ。球欠を囲む交円を「球欠の底面」、底面を成す交円の軸から球欠が切り取る線分の長さを「球欠の高さ」と呼ぶ。割平面が球の中心を通るとき、球冠を「半球面」、球欠を「半球」と呼ぶ。
* 球の中心と小円を結ぶ円錐面によって切り取られる球の一部を「球分」と呼ぶ。また、球面上の閉じた図形の周と球の中心を結ぶ母線によって切り取られる球の一部を、広く「球分」と呼ぶことがある。
* 球と平行な2平面が交わるとき、その交わりは互いに平行な2円となって現れる。2平面にはさまれた[[球面]]の一部を「球帯」といい、球帯とこれら2平面によって囲まれた立体を「球台」と呼ぶ。球台を囲む球帯を「球台の側面」、球台を囲む2円を「球台の底面」、底面を隔てる距離を「球台の高さ」と呼ぶ。
* 3次元球の接吻数、すなわち一つの単位球に一度に接することのできる単位球の最大個数は 12 である。
* 3次元球の球面に、複数の点を平等に配する方法は6種類しかない。すなわち、直径の両端および球に内接する正多面体(5種類)の頂点である。
* 誤って、「球欠」や「球台」のことを「球分」と邦訳した書籍があるので注意。
 
== 3次元空間の球の計量 ==
以下、[[半径]]を ''Sr''[[表面積]]''VS''[[体積]]を ''V''、{{π}} は[[円周率]]、''r'' は[[半径]]を表
 
=== 表面積 ===
:「心 (4) 配 ({{π}}) ごとがある (''r'') 事情([[自乗]])」と覚える。
;証明例1
:半径 ''r'' の球は半円 <math>y=\sqrt{r^2 -x^2}</math> を ''x'' 軸周りに回転することによって得られ体である。ある ''x'' から ''x'' + ''Δx'' にかけての微小な表面積 ''ΔS'' は
::<math>\Delta S=2\pi y\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=2\pi y\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}\Delta x</math>
:となる。したがって表面積 ''S'' は
::<math>S=2\pi \int_{-r}^{r} y\sqrt{1+\left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx=2\pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-x^2} \sqrt{1+\frac{x^2}{r^2 -x^2}} \, dx=2\pi r\int_{-r}^{r}dx=4\pi r\int_{0}^{r}dx =4\pi r^2</math>
;証明例2
[[画像:BallSurface.svg|thumb|カヴァリエリの原理による表面積の求め方の説明図]]
== 関連項目 ==
{{Wiktionary|球}}
* [[円 (数学)|円]]
* [[球面]]
* [[球充填]]
* [[扁球]]
* [[回転楕円体]]
* [[回転体]]
* [[超球]]
* [[幾何学]]
* [[恩物]]:[[フリードリッヒ・フレーベル]]が[[幼児]]のために考案した[[玩具]]。第1恩物として球を採用している。
* [[球対称]]
* [[太陽]]:実在する物体の中で最も球体に近いものの一つとされている。[[扁平率]]はおよそ {{val|9|e=-6|u=}}。
 
{{DEFAULTSORT:きゆう}}
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