「代数方程式」の版間の差分

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以下、解の公式の概要を示す。詳しい内容についてはそれぞれの記事を参照されたい。
 
;一次方程式 :[[一次方程式]] は係数体 ''K'' に依らず ''K'' のなかで常に解ける。<br />
 
 
::一次方程式 <math>ax+b=0</math> ( <math>a,b</math> は実数, <math>a\ne0</math> )の解 <math>x</math> は、<br />
::<math>x=-\frac{b}{a}</math> と表せる。
 
 
 
;二次方程式
:標数が 2 でない体上の[[二次方程式]] ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' = 0 は基礎体 ''F'' に係数 ''a'', ''b'', ''c'' と[[判別式]] ''D'' = ''b''<sup>2</sup> &minus; 4''ac'' の正の平方根を添加した体 ''F''(''a'', ''b'', ''c'', &radic;''D'') のなかで解けて、その根は (&minus;b &plusmn; &radic;''D'')/2''a'' で与えられることが知られている。<br />
 
 
::二次方程式 <math>ax^2+bx+c=0</math> ( <math>a,b,c</math> は実数, <math>a\ne0</math> )の解 <math>x</math> は、<br />
::<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}</math> と表せる。但し、 <math>D=b^2-4ac</math>
 
 
 
;三次方程式
:[[三次方程式]] ''ax''<sup>3</sup> + ''bx''<sup>2</sup> + ''cx'' + ''d'' = 0 の代数的解法は'''カルダノの公式'''として知られるように、&omega; を [[1の冪根|1 の虚立方根]]、''D'' を三次方程式の判別式のこととして、'''Q'''(''a'', ''b'', ''c'', ''d'', &omega;, &radic;''D'') から適当な元 &xi;<sub>1</sub>, &xi;<sub>2</sub> を選べば、'''Q'''(<sup>3</sup>&radic;&xi;<sub>1</sub>, <sup>3</sup>&radic;&xi;<sub>2</sub>, &omega;) の中で解くことができる。<br />
 
 
::三次方程式 <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math> ( <math>a,b,c,d</math> は実数, <math>a\ne0</math> )の解 <math>x</math> は、<br />
::<math>x=
\begin{cases}
\sqrt[3]{-{q\over2}+\sqrt{\left({q\over2}\right)^2-\left({p\over3}\right)^3}}+\sqrt[3]{-{q\over2}-\sqrt{\left({q\over2}\right)^2-\left({p\over3}\right)^3}}-{b\over3a}\\
\omega\sqrt[3]{-{q\over2}+\sqrt{\left({q\over2}\right)^2-\left({p\over3}\right)^3}}+\omega^2\sqrt[3]{-{q\over2}-\sqrt{\left({q\over2}\right)^2-\left({p\over3}\right)^3}}-{b\over3a}\\
\omega^2\sqrt[3]{-{q\over2}+\sqrt{\left({q\over2}\right)^2-\left({p\over3}\right)^3}}+\omega\sqrt[3]{-{q\over2}-\sqrt{\left({q\over2}\right)^2-\left({p\over3}\right)^3}}-{b\over3a}
\end{cases}
</math> と表せる。但し、 <math> \begin{cases}
p=-{1\over3}\left({b\over a}\right)^2+{c\over a}\\
q=2\left({b\over 3a}\right)^3-{bc\over 3a^2}+{d\over a}\\
\omega={1+\sqrt{3}i\over2}
\end{cases}
</math>
 
 
 
;四次方程式
:[[四次方程式]] ''ax''<sup>4</sup> + ''bx''<sup>3</sup> + ''cx''<sup>2</sup> + ''dx'' + ''e'' = 0 の代数的解法は'''フェラの解法'''として知られる。この解法は完全平方式を利用するもので、具体的には(2次式)<sup>2</sup> = (1次式)<sup>2</sup> の形に変形して解くことになるが、この変形の過程で三次方程式を解く操作が必要となる。
 
;五次方程式