== 質点の運動エネルギー ==
[[ニュートン力学]]において、物体の運動エネルギー ''K'' (''t'' ) は、物体の[[質量]] ''m'' と[[速さ]] ''v'' (''t'' ) の 2 二乗に比例する<ref group="注">''v'' は速度ベクトル'''''v''''' の大きさを表す。</ref>。
つまり、[[速度]] '''v''' で運動する質量 m の物体の運動エネルギー K は
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<math>K(t) = \frac{1}{2}mv^2(t).</math>m\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}
=\frac{1}{2}mv^2</math>
}}
で与えられる。<ref group="注">v は速度 '''v''' の大きさを表す。</ref>。
運動エネルギーは、[[ニュートンの運動方程式]]と物体に及ぼされる力学的[[仕事]]の定義から導かれる。運動方程式、が
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<math>m\frac{d\boldsymbol{v}(t)}{dt} = \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}(t),t)</math>
}}
につと表されていてるとき、この力 <math>'''F(\boldsymbol{x}(t),t)</math>''' が時刻 t<mathsub>t_00</mathsub> から時刻 t<mathsub>t_11</mathsub> の間に為す仕事 <math>W(W_{t_0 \to t_1)} </math> は、仕事の定義
:<math>W(t_0 \to t_1) = \int_{t_0}^{t_1} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}(t),t) \cdot d\boldsymbol{x}(t)</math>
より、積分変数を時刻''t'' に置き換え、物体の位置 <math>\boldsymbol{x}(t)</math> の時間微分が物体の速度 <math>\boldsymbol{v}(t)</math> になることを利用すれば、次のように変形することができる。
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<math> \begin{align}
W(W_{t_0 \to t_1)} &= \int_{t_0}^{t_1} \boldsymbol{F}left( \boldsymbol{xF}(t),t) \cdot \frac{d\boldsymbol{x}(t)}{dt} \overright) dt} dt\\
&= \int_{t_0}^{t_1} \left( m\boldsymbolfrac{F}(d\boldsymbol{xv}}(t),t) {dt} \cdot \boldsymbol{v}(t)) \,right) dt \\
&= \int_{t_0}^{t_1} \frac{d}{dt}\left( m\frac{d1}{2}m \boldsymbol{v}(t)}{dt}\cdot\boldsymbol{v}(t) \right) dt \\
&= \int_{t_0}^{t_1} {1 \over 2}m\frac{d\left(\boldsymbol{vdK}\cdot\boldsymbol{vdt}\right)}{dt}(t), dt \\
&= {1 \over 2}mvK(t_1)^2 - {1 \over 2}mvK(t_0)^2.
\end{align} </math>
}}
となる。
これは上述した運動エネルギー''K'' (''t'' ) の差になっている。
つまり従って、'''物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事に等しい'''。 ▼
:<math>W(t_0 \to t_1) = K(t_1) - K(t_0). </math>
▲つまり、'''物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事に等しい'''。
特に物体に一定の力 '''''F''''' が加えられ、物体の位置が <math> \boldsymbol{x} </math> から <math>\boldsymbol{x}+\Delta \boldsymbol{x}</math> まで、<math>\Delta \boldsymbol{x}</math> だけ変化したとき、
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