「統計力学」の版間の差分

'''統計力学'''（とうけいりきがく、{{lang-en-short|statistical mechanics}}）とは、系の[[微視的]]な物理法則を基に、[[巨視的]]な性質を導き出すための学問である。'''統計物理学''' (statistical physics)、'''統計熱力学''' (statistical thermodynamics) とも呼ばれる。

歴史的には系の[[熱力学]]的な性質を[[気体分子運動論]]の立場から演繹することを目的として[[ルートヴィッヒ・ボルツマン|ボルツマン]]、[[ジェームズ・クラーク・マクスウェル|マクス]]、[[ウェルィラード・ギブズ]]らによって始められた。

[[孤立系]]の確率集団は <math>\{p_i\},\,\{q_i\}</math> で指定される微視的状態が等しい確率をもつ[[ミクロカノニカルアンサンブル|ミクロカノニカル集団]]である。これを''[[等重率の原理]]''という。

孤立系(（エネルギー <math>E</math>、体積 <math>V</math>、粒子数 <math>N</math>)）の[[エントロピー]] <math>S(E,V,N)</math> を系の微視的状態の数 <math>W(E,\Delta{} E,V,N)</math> をもち用いて定義する。

{{Indent|<math>S=kk_\lnmathrm{B}\ln W \simeq k_\mathrm{B}k\ln\Omega</math>}}

これを''[[ルートヴィッヒ・ボルツマン|ボルツマン]]の関係公式'']]という。<math>kk_\mathrm{B}</math> は[[ボルツマン定数]]と呼ばれる。<math>W</math> はエネルギーが<math>[E,E+\Delta E]</math> の区間に含まれる微視的状態の数であり、<math>\Delta E</math> は巨視的に識別不可能である微視的なエネルギー差である。つまり <math>\Delta{}EW</math>の間の微 は巨視的状態の総数がにエネルギー <math>E</math>の孤立系の微視的 を持つと見なせる状態の数である。それは[[等重率の原理]]により、

で与えられる。<math>\Omega(E)</math> はエネルギー ''E'' の状態密度である。このエントロピーを熱力学的におけるエントロピーに完全にと[[ランダウの記号|オーダー]]で一致させるには、微視的状態を[[量子力学]]によって記述する必要がある。その場合の統計力学を[[量子統計力学]]といい、[[古典統計力学]]は量子統計力学の古典的極限として[[古典統計力学]]が正確に構築される。

エネルギー <math>E</math> の孤立系の物理量 <math>A</math> の集団平均値 <math>\left\langle A \right\rangle_E</math> は

{{Indent|<math>\left\langle A \right\rangle_E=\frac{\int_{E<H(\{p_i\},\{q_i\})<E+\Delta{} E}A(\{p_i\},\{q_i\})d\Gamma}{W}</math>}}

充分多数の <math>N( \gg 1)</math> 個の粒子から成る古典的な系での任意の物理量 <math>A</math> の時間平均値 <math>\bar{A}</math> は

{{Indent|<math>\bar{A}=\lim_{T\rightarrow{}to\infty}\frac{1}{T}\int_0^T A(\{p_i\},\{q_i\})dt</math>}}

と与えられる。<math>\{p_i\}_{i=1,\dots,3N},\,\{q_i\}_{i=1,\dots,3N}</math> は系の微視的状態を指定する[[ハミルトン力学|正準変数]]である。
系が[[熱力学的平衡|熱力学的平衡状態]]に達するならばこの値は収束する。このとき長時間平均 <math>\bar{A}</math>が は[[熱力学]]に現れる巨視的な物理量 <math>A</math>である に一致しなければならない。

系の微視的状態の（任意の）分布 <math>\rho{}(\{p_i\},\{q_i\},t)</math> は[[リウヴィルの定理 (物理学)|リウヴィルの定理]]により時間に関して不変である。

このことから、時間 ''t'' に依存しない[[平衡]]状態において、<math>\{p_i\},\,\{q_i\}</math> で指定される微視的状態がある[[確率]]'' <math>dP</math>'' をも持つ[[確率集団]](（アンサンブル)）を考えると物理量 <math>A</math> の集団平均値 <math>\left\langle A \right\rangle</math> は

で与えられる。この'''集団平均 <math>\left\langle{} A \right\rangle</math>と時間平均 <math>\bar{ A}</math> が等しいと仮定すること'''がを統計力学の原理であり、これとする仮説を[[エルゴード理論|エルゴード仮説]]とよ呼ぶ。ただし、エルゴード仮説は統計力学の基礎付けとは無関係という主張も専門家によってなされている<ref>[[田崎晴明]] [[#tasakiS1|統計力学I]]。また、[[田崎晴明]]による解説 [http://www.gakushuin.ac.jp/~881791/statbook/ 統計力学 I, II（培風館、新物理学シリーズ） ]</ref><ref>[[大野克嗣]]による解説 [http://www.rinst.org/]（Statistical Mechanics, Japanese versionというpdf）</ref>。

* {{cite|和書 |title=大学演習 熱学・統計力学
|author=[[久保亮五|久保 亮五]]
|publisher=[[裳華房]]
|edition=修訂版
|ISBN=978-4785380328}}

* {{cite|和書 |title=熱力学　平衡状態と不可逆過程の熱物理学入門（下上）
|author=H. B. Callen
|translator=山本 常信, [[小田垣孝|小田垣 孝]]
|publisher=[[吉岡書店]]
|ISBN=978-4-8427-01920189-9}}

* {{cite|和書 |title=熱力学および統計　平衡状態と不可逆過程の熱物理学入門（下）
|author=H. B. Callen
|translator=山本 常信, 小田垣 孝
|publisher=吉岡書店
|ISBN=978-4-8427-02730192-59}}