「コンパクト化」の版間の差分
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→アレキサンドロフの一点コンパクト化: 英語版を参考にした |
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* <math>(i,K)</math> をハウスドルフ空間 <math>X</math> のハウスドルフなコンパクト化とするとき、<math>K</math> の[[濃度 (数学)|濃度]] <math>|K|</math> は高々 <math>2^{2^{|X|}}</math> である。
== アレ
=== 定義 ===
<math>X</math>をコンパクトでない位相空間とし、<math>\infty</math> を<math>X</math> 上に存在しない一点と
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この時、<math>X^*</math> はコンパクトである事が示せ、しかも<math>i(X)</math>が<math>X^*</math> で稠密である事も示せる<ref name="uchida124" />ので、<math>(X^*,i)</math>はコンパクト化の条件を満たす。<math>(X^*,i)</math>の事を''X'' の'''アレクサンドロフの一点コンパクト化'''という。▼
▲さらに<math>i:X\hookrightarrow X^*</math> を包含写像とする。この時、<math>X^*</math> はコンパクトである事が示せ、しかも<math>i(X)</math>が<math>X^*</math> で稠密である事も示せる<ref name="uchida124" />ので、<math>(X^*,i)</math>はコンパクト化の条件を満たす。<math>(X^*,i)</math>の事を''X'' の'''（アレクサンドロフの）一点コンパクト化'''という。
=== 性質 ===▼
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! 一点コンパクト化の普遍性
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<math>X</math>をコンパクトではない任意の[[局所コンパクト]]ハウスドルフ空間とし、<math>(X^*,i)</math>を<math>X</math>の一点コンパクト化とし、さらに<math>(K,j)</math>を<math>X</math>の任意のハウスドルフなコンパクト化とする。このときある連続写像 <math>\phi:K\to X^*</math> が（実はただ一つ）存在して <math>i=j\circ\phi</math>が成立する。
（すなわち以下の図式が可換となる。）
<math>
\begin{array}{rcl}
X & \overset{j}{\to} & K\\
& i\searrow & \downarrow \phi\\
& & X^*
\end{array}
</math>
|}
=== その他の性質 ===
アレクサンドロフの一点コンパクト化は以下の性質を満たす事が知られている：
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* <math>X^*</math> がT<sub>1</sub>空間である必要十分条件は <math>X</math> がT<sub>1</sub>空間である事。
▲さらに<math>X</math> が[[局所コンパクト]]なハウスドルフ空間のとき、アレキサンドロフの一点コンパクト化 <math>(X^*,i)</math> は次の[[普遍性]]を満たす事が知られている。
=== 一点コンパクト化の例 ===
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