「主イデアル」の版間の差分
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<!---#REDIRECT[[主イデアル整域]]-->
'''主イデアル'''(principal ideal)とは、[[環 (数学)|環]] R の単一の元 a により生成された R の[[イデアル (環論)|イデアル]] I のことを言う。（要するに、一つの元で生成される'''単項生成'''されたイデアルを主イデアルと言う。）
<!---A '''principal ideal''' is an [[ideal (ring theory)|ideal]] ''I'' in a [[ring (mathematics)|ring]] ''R'' that is generated by a single element ''a'' of ''R''.-->
==
* R の'''左主イデアル'''(left principal ideal)は、Ra = {ra : r in R} の形の部分集合
* R の'''右主イデアル'''(right principal ideal)は、aR = {ar : r in R} の形の部分集合
* '''両側主イデアル'''(two-sided principal ideal)は、RaR = {r<sub>1</sub>as<sub>1</sub> + ... + r<sub>n</sub>as<sub>n</sub> : r<sub>1</sub>,s<sub>1</sub>,...,r<sub>n</sub>,s<sub>n</sub> in R} の形の部分集合
R が[[可換環]]であれば、上の 3つの定義はみな同じになる。この場合は、共通に a で生成されるイデアルを ⟨a⟩ と記す。
<!---==Definitions==
* a ''left principal ideal'' of ''R'' is a [[subset]] of ''R'' of the form ''Ra'' = {''ra'' : ''r'' in ''R''};
* a ''right principal ideal'' is a subset of the form ''aR'' = {''ar'' : ''r'' in ''R''};
* a ''two-sided principal ideal'' is a subset of the form ''RaR'' = {''r''<sub>1</sub>''as''<sub>1</sub> + ... + ''r''<sub>''n''</sub>''as''<sub>''n''</sub> : ''r''<sub>1</sub>,''s''<sub>1</sub>,...,''r''<sub>''n''</sub>,''s''<sub>''n''</sub> in ''R''}.
If ''R'' is a [[commutative ring]], then the above three notions are all the same.
In that case, it is common to write the ideal generated by ''a'' as ⟨''a''⟩.-->
==主イデアルでないイデアルの例==
全てのイデアルが、主イデアルというわけではない。
例えば、2つの[[変数 (数学)|変数]] x, y の[[複素数]]を係数とする全ての[[多項式]]の環 '''C'''[x,y] を考える。x と y で生成されたイデアル ⟨''x'',''y''⟩ は、定数項が 0 となるような '''C'''[x,y] の多項式全てから構成されるが、主イデアルではない。このことを見るために、p を ⟨x,y⟩ の生成子とすると、x と y は両方とも p により割り切れることになるが、このことは p が 0 でない定数でない限り不可能である。しかし 0 は ⟨x,y⟩ の中の唯一の定数であり、従って[[:en:contradiction|矛盾]]<!---｢矛盾｣という記事は存在するが、この場面で使用するものではないので、英語のcontradictionへ-->する。
<!---==Examples of non-principal ideal==
Not all ideals are principal.
For example, consider the commutative ring '''C'''[''x'',''y''] of all [[polynomial]]s in two [[Variable (mathematics)|variables]] ''x'' and ''y'', with [[complex number|complex]] coefficients.
The ideal ⟨''x'',''y''⟩ generated by ''x'' and ''y'', which consists of all the polynomials in '''C'''[''x'',''y''] that have [[0 (number)|zero]] for the [[constant term]], is not principal.
To see this, suppose that ''p'' were a generator for ⟨''x'',''y''⟩; then ''x'' and ''y'' would both be divisible by ''p'', which is impossible unless ''p'' is a nonzero constant.
But zero is the only constant in ⟨''x'',''y''⟩, so we have a [[contradiction]].-->
==関連する定義==
==Related definitions==▼
全てのイデアルが主イデアルであるような環を、主イデアル環(principal ideal ring)と言う。[[主イデアル整域]](PID)とは、全てのイデアルが主イデアルとなるような[[整域]]を言う。任意の主イデアル整域は[[一意分解整域]]であり、[[整数]]の中での一意分解が普通に証明（いわゆる、[[算術の基本定理]]）が任意の主イデアル整域で成り立つ。
▲<!---==Related definitions==
A ring in which every ideal is principal is called ''principal'', or a [[principal ideal ring]].
A [[principal ideal domain]] (PID) is an [[integral domain]] that is principal.
Any PID must be a [[unique factorization domain]]; the normal proof of unique factorization in the [[integer]]s (the so-called [[fundamental theorem of arithmetic]]) holds in any PID.-->
==
どの[[ユークリッド環|ユークリッド整域]]もPID（主イデアル整域）であり、[[最大公約数]]の計算に使われるアルゴリズムが、任意のイデアルの生成子を見つけることに使われる。さらに一般的には、可換環のどの 2つの主イデアルも、イデアルの乗法の意味で最大公約数を持っている。主イデアル整域では、[[可逆元|単元]]による積を除くと、環の元の最大公約数の計算に使うことができ、gcd(a,b) をイデアル ⟨''a'',''b''⟩ の任意の生成子とできる。
[[デデキント環|デデキント整域]] R に対し、与えられた R の 主イデアルではないイデアル I には、S を R の拡大として、I により生成される S のイデアルが主イデアルとなるような拡大が存在するかと問うこともできる。（大まかにいえば、I は S の中では主イデアルとなるかという問題である。）この問題は、数論で[[代数的整数]]の環の研究の関連で発生し、[[高木貞二]](Teiji Takagi)、{{仮リンク|エミール・アルティン|en|Emil Artin}}(Emil Artin)、[[ダフィット・ヒルベルト|ダヴィッド・ヒルベルト]](David Hilbert)やそのほかによる[[類体論]]の発展を導いた。
<!---==Properties==
Any [[Euclidean domain]] is a PID; the algorithm used to calculate [[greatest common divisor]]s may be used to find a generator of any ideal.
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For a [[Dedekind domain]] ''R'', we may also ask, given a non-principal ideal ''I'' of ''R'', whether there is some extension ''S'' of ''R'' such that the ideal of ''S'' generated by ''I'' is principal (said more loosely, ''I'' ''becomes principal'' in ''S'').
This question arose in connection with the study of rings of [[algebraic integer]]s (which are examples of Dedekind domains) in [[number theory]], and led to the development of [[class field theory]] by [[Teiji Takagi]], [[Emil Artin]], [[David Hilbert]], and many others.-->
{{仮リンク|主イデアル定理|label=類体論の主イデアル定理|en|principal ideal theorem}}(principal ideal theorem of class field theory)は、任意の整数環 R （つまり、ある[[代数体|数体]]の{{仮リンク|整数の環|en|ring of integers}}(ring of integers)）は、より大きな整数環 S に含まれ、S は任意の R の'''全て'''のイデアルは S の主イデアルとなるという性質を持つ。この定理の中で、S を{{仮リンク|ヒルベルト類体|en|Hilbert class field}}(Hilbert class field) R の整数の環とすることができる。すなわち、最大{{仮リンク|分岐|label=不分岐|en|ramification}}(unramified)なアーベル拡大（つまり、[[ガロア理論|ガロア拡大]]でガロア群が[[アーベル群|アーベル的]]となっている拡大）は、R の分数体であり、この R に対し一意に決定される。
The [[principal ideal theorem|principal ideal theorem of class field theory]] states that every integer ring ''R'' (i.e. the [[ring of integers]] of some [[number field]]) is contained in a larger integer ring ''S'' which has the property that ''every'' ideal of ''R'' becomes a principal ideal of ''S''.▼
{{仮リンク|クルルの主イデアル定理|en|Krull's principal ideal theorem}}(Krull's principal ideal theorem)は、R がネター環で、I が R の主イデアルで固有イデアルであれば、I は大きくとも{{仮リンク|高さ (環論)|label=高さ|en|height (ring theory)}}(height)は 1 である。
▲<!---The [[principal ideal theorem|principal ideal theorem of class field theory]] states that every integer ring ''R'' (i.e. the [[ring of integers]] of some [[number field]]) is contained in a larger integer ring ''S'' which has the property that ''every'' ideal of ''R'' becomes a principal ideal of ''S''.
In this theorem we may take ''S'' to be the ring of integers of the [[Hilbert class field]] of ''R''; that is, the maximal [[ramification|unramified]] abelian extension (that is, [[Galois theory|Galois extension]] whose Galois group is [[abelian group|abelian]]) of the fraction field of ''R'', and this is uniquely determined by ''R''.
[[Krull's principal ideal theorem]] states that if ''R'' is a Noetherian ring and ''I'' is a principal, proper ideal of ''R'', then ''I'' has [[height (ring theory)|height]] at most one.-->
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* {{cite book
| title = Contemporary Abstract Algebra
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{{デフォルトソート:しゆいてある}}
[[Category:Ideals]]▼
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