「順序数」の版間の差分

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整列集合 (''A'', &lt;<sub>''A''</sub>), (''B'', &lt;<sub>''B''</sub>) を ord(''A'', &lt;<sub>''A''</sub>) = &alpha;, ord(''B'', &lt;<sub>''B''</sub>) = &beta;, ''A'' &cap; ''B'' = &empty; をみたすように取り、''A'' &cup; ''B'' 上の関係 &lt;<sub>''A''</sub> &oplus; &lt;<sub>''B''</sub> を、
 
: ''x'' (&lt;<sub>''A''</sub> &oplus; &lt;<sub>''B''</sub>) ''y''  &hArr;  ''x'' &lt;<sub>''A''</sub> ''y'' または ''x'' &lt;<sub>''B''</sub> ''y'' または <''x'', ''y''> &isin; ''A'' × ''B''
によって定義すれば、(''A'' &cup; ''B'', &lt;<sub>''A''</sub> &oplus; &lt;<sub>''B''</sub>) は整列集合であり、その順序数は (''A'', &lt;<sub>''A''</sub>), (''B'', &lt;<sub>''B''</sub>) の特定の取り方によらず一定である。そこで ord(''A'' &cup; ''B'', &lt;<sub>''A''</sub> &oplus; &lt;<sub>''B''</sub>) を &alpha; と &beta; の'''和'''といい、これを &alpha; + &beta; で表す。直観的には、&alpha; + &beta; というのは &alpha; の後ろに &beta; を並べてできる整列集合の順序数である。
整列集合 (''A'', &lt;<sub>''A''</sub>), (''B'', &lt;<sub>''B''</sub>) を ord(''A'', &lt;<sub>''A''</sub>) = &alpha;, ord(''B'', &lt;<sub>''B''</sub>) = &beta; をみたすように取り、''A'' × ''B'' 上の関係 &lt;<sub>''A''</sub> &otimes; &lt;<sub>''B''</sub> を、
 
: <''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>> (&lt;<sub>''A''</sub> &otimes; &lt;<sub>''B''</sub>) <''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>>  &hArr;  ''y''<sub>1</sub> &lt;<sub>''B''</sub> ''y''<sub>2</sub> または (''y''<sub>1</sub> = ''y''<sub>2</sub> かつ ''x''<sub>1</sub> &lt;<sub>''A''</sub> ''x''<sub>2</sub>)
 
によって定義すれば、(''A'' × ''B'', &lt;<sub>''A''</sub> &otimes; &lt;<sub>''B''</sub>) は整列集合であり、その順序数は (''A'', &lt;<sub>''A''</sub>), (''B'', &lt;<sub>''B''</sub>) の特定の取り方によらず一定である。そこで ord(''A'' × ''B'', &lt;<sub>''A''</sub> &otimes; &lt;<sub>''B''</sub>) を &alpha; と &beta; の'''積'''といい、これを &alpha; &middot; &beta; で表す。直観的には、&alpha; &middot; &beta; というのは &alpha; を &beta; 個並べてできる整列集合の順序数である。
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