「凸関数」の版間の差分

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[[Image:Convex-function-graph-1.png|thumb|350px|right|凸関数の例(緑の曲線)]]
'''凸関数'''(とつかんすう、{{lang-en|convex function)function}})、'''下に凸関数'''(downward ({{en|downward-convex function)function}}) とは、ある[[区間 (数学)|区間]]で定義された[[実数]]値[[関数 (数学)|関数]] ''f'' で、区間内の任意の 2 点 ''x'', ''y'' と閉区間 <nowiki>[0, 1]</nowiki> 内の任意の ''t'' に対して
{{Indent|<math>f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y)\,</math>}}
を満たすものをいう。言い換えれば、[[エピグラフ (数学)|エピグラフ]](グラフ上およびグラフの上部の点の集合)が[[凸集合]]である関数である。より一般に、[[ベクトル空間]]の凸集合上定義された関数に対しても同様に定義する。
 
また、'''狭義凸関数'''とは、任意の異なる 2 点 ''x'', ''y'' と開区間 (0, 1) 内の任意の ''t'' に対して
{{Indent|<math>f(tx+(1-t)y) < t f(x)+(1-t)f(y)\,</math>}}
を満たす関数である(従って、下に凸な関数の事である)
 
-&minus;''f'' が凸関数のとき、''f'' を'''凹関数'''(おうかんすう、[[:en:Concave function|concave function]])と呼ぶ。日本の学校教育においては、凸関数を「下に凸な関数」、凹関数を「上に凸な関数」と称することもある。
 
== 凸関数の性質 ==
区間上の 1 変数微分可能な関数が凸関数であるための必要十分条件は、微分が[[単調関数|単調非減少]]であることである。
 
また 1 変数 2 階微分可能な関数が、凸関数であることの必要十分条件は、2 階微分が非負であることである。また、2 階微分が正ならば、狭義凸関数である。この[[逆]]は成立しない。例えば、''y'' = ''x''< {{sup>|4</sup>}} は狭義凸関数であるが、2 階微分は正ではない。
 
より一般的に、[[滑らかな関数|''C''< {{sup>|2</sup>}} 級関数]]が凸関数であるための必要十分条件は、凸集合の内部で、[[ヘッセ行列]]が[[エルミート行列|半正値]]であることである。
 
''f'', ''g'' が凸関数であるとき、非負の ''a'', ''b'' について ''af'' + ''bg'' は凸関数である。同様に、max {''f'' , ''g'' } も凸関数である。
 
== 例 ==
*''x''< {{sup>|2</sup>}} は凸関数であるが、対数凸関数ではない。
*''x''< {{sup>|3</sup>}} は ''x'' &gt; 0 において凸関数であり、''x'' &lt; 0 において凹関数である。
*[[指数関数]] ''e''<{{sup>''|x}}''</sup> は凸関数であり、狭義ではない対数凸関数である。
*[[ガンマ関数]] &Gamma;(''x'' ) は ''x'' &gt; 0 において対数凸関数である。
*[[絶対値]]関数 |''x'' | は ''x'' = 0 で微分不可能であるが凸関数である。
*区間 [0, 1] 上で、''f'' (0) = ''f'' (1) = 1, 0 &lt; ''x'' &lt; 1のとき ''f'' (''x'' ) = 0 で定義された ''f'' は不連続であるが、凸関数である。
*[[線形写像]]は狭義ではない凸関数であり、狭義ではない凹関数でもある。
*[[アフィン写像]]は凸関数であり、凹関数でもある。
== 原点に対して凸 ==
{{節stub|date=2013年7月6日 (土) 15:07 (UTC)}}
[[経済学]]においては、曲線が原点に向かって弓なりに突き出した形になっていることを'''原点に対して凸'''<ref>{{cite[[#ashiya|和書 |author=芦谷政浩 |title=ミクロ経済学 |publisher=有斐閣 |year=(2009)]]、p. |isbn=978-4-641-16350-8 |page=51}}</ref>、または'''原点に向かって凸'''<ref>{{cite[[#kambe|和書 |author=神部伸輔|author2=寶多康弘|author3=濱田弘潤 |title=ミクロ経済学をつかむ |publisher=有斐閣 |year=(2006)]]、p. |isbn=4-641-17700-7 |page=99}}</ref>と言う。
 
== 脚注 ==
{{reflist}}
 
== 参考文献 ==
* {{cite|和書 |author=芦谷政浩 |title=ミクロ経済学 |publisher=有斐閣 |year=2009 |isbn=978-4-641-16350-8 |ref=ashiya}}
* {{cite|和書 |author=神部伸輔|author2=寶多康弘|author3=濱田弘潤 |title=ミクロ経済学をつかむ |publisher=有斐閣 |year=2006 |isbn=4-641-17700-7 |ref=kambe}}
 
== 関連項目 ==
*[[劣加法性]]
*[[劣モジュラ関数]]
*[[ルジャンドル変換]]
 
{{DEFAULTSORT:とつかんすう}}
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