「アーベル拡大」の版間の差分

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'''円分拡大'''には 2つの点で少し異なる概念がある。円分拡大の可能性のひとつは [[1の冪根|1のべき根]]による拡大であり、もうひとつは 1のべき根による拡大の部分拡大として作られた拡大である。[[円分体]]が例であり、任意の円分拡大は定義によりアーベル拡大である。
 
体 K が原始的 n-番目のべき根を持ち K の元の n-番目の根と結合させるたとき、[[クンマー拡大]](Kummer extension)といい、アーベル拡大となる。( K の標数を p とすると、p は n を割らないとの前提を入れねばならない。もし割るようであれば、{{仮リンク|分離拡大|en|separable extension}}(separable extension)も失敗するからである。)しかしながら、一般に、元の n-番目の根のガロア群は、n-番目の根も単位の根も双方に作用し、{{仮リンク|[[半直積|en|semi-direct product}}]](semi-direct product)として非アーベル的ガロア群を構成する。[[クンマー理論]](Kummer theory)は、アーベル拡大を完全に記述する。[[クロネッカー・ウェーバーの定理]]は、K が[[有理数|有理数体]]のとき、拡大がアーベル的であるということと、拡大が単位の根を代数的に結合した値とする体の部分体であることとは同値であると言う定理である。
 
[[位相幾何学|トポロジー]]では[[基本群]]の重要な類似があり、全ての被覆空間を分類する。すなわち、第一[[ホモロジー群]]に直接関連付けられる[[交換子部分群#アーベル化|アーベル化]]により、アーベル被覆が分類される。
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