「ユークリッド距離」の版間の差分

[[数学]]において、ける'''ユークリッド距離'''(英：Eucliadean（ユークリッドきょり、{{lang-en-short|'''Euclidean distance)もしく'''}}）または'''ユークリッド計量'''（ユークリッドけいりょう、{{lang-en-short|'''Euclidean metric'''}}; ユークリッド距離函数）とは、2人が定規で測るような二点間の「通常の」[[距離]]のことをいい、その距離は定規によって測ることができる。 またこの2点間の線分はあり、[[ピタゴラスの定理|ピュタゴラスの公式]]によって与えられる。このピタゴラスの定理公式を距離函数として使うことによって、用いれば[[ユークリッド空間]]は[[距離空間]]となるのである。ユークリッド距離に関連付随する[[ノルム]]は'''[[ユークリッドノルム]]'''と呼ばれる。古い書籍などはピタゴラス計量（{{lang-en-short|Pythagorean metric}}）と呼んでいることがある。

点 {{math|'''p'''}} および {{math|'''q'''}} の間の'''ユークリッド距離'''とは、それらの点をつなぐ[[線分の長さである(]] <math>\overline{\mathbf{p}\mathbf{qpq}}</math>) の長さをいう。

[[直交座標系]]において、もし{{math|'''p'''&nbsp;{{=}}&nbsp;(''p''₁,&nbsp;''p''₂,... &hellip;,&nbsp;''p''_''n'')}} および {{math|'''q'''&nbsp;{{=}}&nbsp;(''q''₁,&nbsp;''q''₂,... &hellip;,&nbsp;''q''_''n'')}} が {{mvar|n}}-次元[[ユークリッド空間にある２]]内の二点であったならとすれば、その{{math|'''p'''}} から {{math|'''q'''間}} への距離、あるいは{{math|'''pq'''}} から {{math|'''qp'''まで}} への距離（距離函数 {{mvar|d}}）は次のように与えられる。:

{{NumBlk|:|<math>\mathrm{d}(\mathbf{p},\mathbf{q}) = \mathrm{d}(\mathbf{q},\mathbf{p}) = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2 + \cdots + (q_n-p_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (q_i-p_i)^2}.</math>|{{EquationRef|1}}}}

で与えられる。ユークリッド空間における点の位置はユークリッド[[位置ベクトル]]であ表される。よってから、さきの {{math|'''p'''}} および {{math|'''q'''}} をは、その空間内での原点からを始ま点として終点がそれぞれの点であるユークリッドような幾何ベクトルと見做すことがであると言えきる。また、その線分の端は2点を示している。あるベクトルの[[ユークリッドノルムあるいは]]（{{lang-en-short|'''Euclidean norm'''}}）、'''ユークリッド距離は、そのベクトルの長さを表わす：'''（{{lang-en-short|'''Euclidean length'''}}）あるいは'''大きさ'''（{{lang-en-short|'''magnitude'''}}

: <math>\|\mathbf{p}\| = \sqrt{p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2} = \sqrt{\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}}</math>

とは、そのベクトルの長さを測るものである。ただし、最後の等式は[[ドット積を含む]]で表したもの。

ベクトルは、ユークリッド空間の原点（ベクトルの尾となる始点）から、同空間内のどこか一点（ベクトルの頭となる終点）をつなぐ、方結ぶ[[有向性のある線分]]として記述されする。こともし、そできる。有向線分の長さが本当実際にそのベクトルの尾始点から頭終点までの距離に等しいのであことに鑑みれば、ベクトルのユークリッドノルムがユークリッド距離の特別なケース―――そのベクトルの尾場合（始点から頭終点までのユークリッド距離―――である）に過ぎなちょうど等しいことは明らかであ白となるだろう。

点 {{math|'''p'''}} および {{math|'''q'''}} 点の間の距離は方向性を持ちうる（に、例えば {{math|'''p'''}} から {{math|'''q'''}} へ、というようなど）[[向き]]を入れて考えるならば、よってそれは異なるもうひとつの新たにベクトルによって表わすことが可能であろう。それは次式によって与えられる。