「射影加群」の版間の差分
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射影分解と射影次元 |
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* {{math|''P<sub>i</sub>''}}はすべて射影加群 ⇔ {{math|⊕''P<sub>i</sub>''}} は射影加群{{Sfn|岩永|佐藤|2002|p=128}}
* [[体 (数学)|体]]係数[[多項式環]]上の[[有限生成]]射影加群は[[自由加群]] （[[:en:Quillen-Suslin theorem]]）
== 射影分解と射影次元 ==
加群 {{mvar|M}} に対し、各 <math>P_i</math> が射影加群であるような次の完全列
:<math>\cdots \to P_{n+1} \to P_n \to \cdots \to P_1 \to P_0 \to M \to 0</math>
を {{mvar|M}} の'''射影分解'''という。任意の加群には自由分解（上記で射影加群を自由加群に置き換えたもの）が存在し、したがって射影分解も存在する。{{mvar|i}} > {{mvar|n}} に対し<math>P_{i+1}=0</math> であるような射影分解を'''長さ''' {{mvar|n}} の射影分解という。そのような {{mvar|n}} が存在する場合その最小値を {{mvar|M}} の'''射影次元'''といい、存在しない場合は射影次元は ∞ という。ただし、{0} の射影次元は -1 とする。
== 関連項目 ==
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