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[[代数学]]において'''既約多項式'''（きやくたこうしき、{{lang-en-short|irreducible polynomial}}）とは、正の[[#定義|次数多項式環]]をもつの[[多項式既約元]]<ref>{{harv|永田|1995}}の積語法では「固有既約元」のことして表せない多項式</ref>のことである。[[環論]]的より冗長には多項式環次のようにおけなる。{{mvar|R}} を[[整域#可除性、素元と既約元|素単位元]]のことであるため、をもつ[[整数可換環]]におけるとし、その[[素単数]]の類似物である全体を {{math|''R''<sup>×</sup>}}、一変数多項式環を {{math|''R''[''X'']}} とおく。多項式 {{math|''ƒ'' ∈ ''R''[''X'']}} が2条件
* {{math|''ƒ'' ∉ ''R''<sup>×</sup>}}
* {{math|∀ ''g'', ''h'' ∈ ''R''[''X'']   ''ƒ'' {{=}} ''gh'' ⇒ ''g'' ∈ ''R''<sup>×</sup> or ''h'' ∈ ''R''<sup>×</sup>}}
が成り立つを満たすとき 、多項式 {{mvar|ƒ}} は'''既約'''であるという。 既約そうでない 多項式はとき'''可約'''であるという。 ▼
係数環 {{mvar|R}} が[[整数環]]や[[実数|実数体]]、[[複素数体]]のような[[一意分解整域]]の場合には既約多項式は多項式環における[[素元]]でもあるので、これは整数環における[[素数]]の類似物である。
== 定義 ==
以下では[[単位元]]をもつ[[整域]]を単に整域という。
整域 {{mvar|D}} 上の一変数多項式
:<math> f(X) = a_0 + a_1X^1 + \dotsb + a_nX^n \in D[X] </math>
をとる。このとき {{math|''a<sub>i</sub>'' ≠ 0}} となる最大の自然数 {{mvar|i}} を多項式 {{mvar|ƒ}} の'''次数'''といい、{{math|deg(''ƒ'')}} で表す。ただし、このような数が存在しないとき ―つまり {{math|''ƒ''(''X'') {{=}} ''a''<sub>0</sub>}} のとき― 便宜的に {{math|''a''<sub>0</sub> ≠ 0}} ならば {{math|deg(''ƒ'') {{=}} 0}} また {{math|''a''<sub>0</sub> {{=}} 0}} ならば {{math|deg(''ƒ'') {{=}} −∞}} と定める<ref>ここで元 {{math|−∞}} は二条件 {{math|−∞ ∉ '''Z'''}} と {{math|∀''m'' ∈ '''Z''', −∞ < ''m'', −∞ + ''m'' {{=}} −∞ {{=}} −∞ + −∞}} を満たすものとする。</ref>。
このとき、すべての {{math|''g''(''X''), ''h''(''X'') ∈ ''D''[''X'']}} について
:<math> f = gh \implies \operatorname{deg}(g) \leq 0 \text{ or } \operatorname{deg}(h) \leq 0 </math>
▲が成り立つとき、多項式 {{mvar|ƒ}} は'''既約'''であるという。既約でない多項式は'''可約'''であるという。
整域上では {{math|deg(''fg'') {{=}} deg(''f'') + deg(''g'')}} が成り立つので、一次多項式は常に既約である。
== 例 ==
== 判定法 ==
可換環 {{mvar|R}} の[[整域素イデアル]] {{mvar|DP}} 上の一変数とモニック多項式
:<math>
f(X) = a_0X^n + a_1X^{n - 1} + \dotsb + a_nX^na_n \in DR[X]
</math>
をとる。このとき2条件
をとり、整域 {{mvar|D}} の[[商体]]を {{mvar|F}} とおく。整域 {{mvar|D}} のある[[整域#可除性、素元と既約元|素元]] {{mvar|p}} について
* {{math|''a''<sub>1</sub>, …, ''a<sub>n</sub>'' ∈ ''P''}}
:<math>\begin{cases}
* {{math|''a<sub>n</sub>'' ∉ ''P''<sup>2</sup>}}
a_i &\equiv 0 \pmod{(p)} \qquad (0 \leq i < n) \\
を満たすならば多項式 {{mvar|ƒ}} は既約である（'''Eisensteinの既約判定法'''）{{Sfn|永田|1995|loc=定理 8.1.11}}。
a_n &\not\equiv 0 \pmod{(p)} \\
a_0 &\not\equiv 0 \pmod{(p^2)}
\end{cases}</math>
が成り立つとき、多項式 {{math|''ƒ''(''X'') ∈ ''F''[''X'']}} は既約である<ref>これは必要条件である。実際、例にある {{math|''X''<sup>2</sup> + 1 ∈ '''Z'''[''X'']}} はこの判定法で既約性を判定できない。</ref>（'''Eisensteinの既約判定法'''）。
たとえば素数 {{mvar|p}} と自然数 {{math|''m''}} に対して整数環上の一変数多項式 {{math|''X<sup>m</sup>'' − ''p''}} は既約である。ただし、これは既約である[[有理数必要条件]]体上ではない。実際、例にある {{math|''X''<sup>2</sup> + 1 ∈ '''Z'''[''X'']}} はこの判定法で既約多項式性を判定であるきない。
== 脚注 ==
== 参考文献 ==
* {{Cite book
|last1 = van der Waerden永田
|first1 = B. L.雅宜
|year = 20031995
|title = [http://www.springerkinokuniya.comco.jp/mathematicsf/algebra/book/978-0-387dsg-4062401-49784314001175 Algebra可換環論]
|publisher = Springer-Verlag[[紀伊國屋書店]]
|series = 紀伊國屋数学叢書
|volume = I
|isbn = 04-387314-4062400117-78
|ref = harv
}}
== 関連項目 ==
* [[極大イデアル]]
* [[有理根定理]]
{{デフォルトソート:きやくたこうしき}}
[[Category:代数学]]
[[Category:環論]]
[[Category:数学に関する記事]]
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