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4行目: 被覆空間は代数的[[位相幾何学]]で研究されるが、微分位相幾何学、位相群論、[[リーマン面]]論等様々な数学の分野で重要な応用を有する。 == 公式の定義 == X を[[位相空間]]とする。X の'''被覆空間'''とは、位相空間 C および[[連続函数\|連続]][[全射]] :<math>p : C \rightarrow X</math> の組であって、すべての x ∈ X に対し、x の開近傍 U が存在し、p<sup>−1</sup>(U)（p による U の逆像）が、共通部分を有しない C の開集合の和集合で表され、その各開集合が ''p'' により ''U'' に同相に写像され~~るもののことであ~~る。<ref name="Chernavskii">{{harvnb\|Chernavskii\|2001}}</ref><ref name="Munkres p336">{{harvnb\|Munkres\|2000\|p=336}}</ref>▼ 写像 p は'''被覆写像'''<ref name="Munkres p336"/> 、空間 X は被覆の'''底空間'''と言い、C を被覆の'''全空間'''と言う。底空間の任意の点 x の C における逆像は、x 上のファイバーと呼ばれ、必然的に[[離散空間]]となる<ref name="Munkres p336"/> 。 ~~''X'' を位相空間とする。~~ ~~''X'' の'''被覆空間'''とは、~~ ~~位相空間 ''C'' および連続全射 ''p'' : ''C'' → ''X'' の組であって、~~ ~~すべての ''x'' ∈ ''X'' に対し、''x'' の開近傍 ''U'' が存在し、~~ ~~''p''<sup>−1</sup>(''U'') （''p'' による ''U'' の逆像）~~ ~~が、共通部分を有しない ''C'' の開集合の和集合で表され、~~ ▲その各開集合が ''p'' により ''U'' に同相に写像されるもののことである。<ref name="Chernavskii">{{harvnb\|Chernavskii\|2001}}</ref><ref name="Munkres p336">{{harvnb\|Munkres\|2000\|p=336}}</ref> 定義の中の x の特別な開近傍 U は、'''均一被覆近傍'''と言う。均一被覆近傍は、空間 X の{{仮リンク\|開被覆\|en\|open cover}}(open cover)となる。均一被覆近傍 U の C における同相的複写は、U 上の'''シート'''と言う。一般に C は、X 上に浮いていて p が下向きに写像し、U 上のシートは、U の真上方向に水平に積み重なっていて、x 上のファイバーは、x の真上に垂直にある C の点である。特に、被覆写像は局所的には自明である。このことは局所的には、均一被覆近傍 U の前像 p<sup>−1</sup>(U) の U × F の上への準同型 h が、各々の被覆写像が射影と同型であることを意味する。ここに F はファイバーであり、'''局所自明化条件'''、つまり、U の上への U × F から U の上への射影 π : U × F → U に対して、射影 π と準同型 h との合成は、前像 p<sup>−1</sup>(U) から U 上への写像 π ∘ h であり、従って、導かれた合成 π ∘ h は p に局所的に（p<sup>−1</sup>(U) の中では）等しい。 ~~写像 ''p'' は'''被覆写像'''、空間 ''X'' はしばしば被覆の'''底空間'''（ていくうかん、英：base）と言う。~~ <!--== Formal definition ==Let ''X'' be a [[topological space]]. A '''covering space''' of ''X'' is a space ''C'' together with a [[continuous function (topology)\|continuous]] [[surjective]] map▼ ~~底空間の任意の点 ''x'' の ''C'' における逆像は、''x'' 上のファイバーと呼ばれる離散空間である。~~ ~~定義に表れた ''x'' の特別な開近傍 ''U'' 全体は、'''均一被覆近傍'''（きんいつひふくきんぼう、英：evenly-covered neighborhoods）と言う。~~ ~~均一被覆近傍 ''U'' の ''C'' における同相的複写は、''U'' 上の'''シート'''（英：sheets）と言う。~~ 一般に ''C'' は、''X'' 上に浮いていて ''p'' が下向きに写像し、''U'' 上のシートは、''U'' の真上方向に水平に積み重なっていて、''x'' 上のファイバーは、''x'' の真上に垂直にある ''C'' の点である。 ~~'''注意'''：多くの著者は、被覆写像の定義において、空間 ''X'' と ''C'' に連結性の条件を課している。~~ ~~特に、多くの著者は、双方の空間が弧状連結かつ局所弧状連結であることを要求している。~~ ~~被覆空間の結果を学習する際、常に、著者の課する連結に関する前提について注意深く検討する必要がある。~~ また、著者によっては被覆写像が全射であることを要求しない。しかし、''X'' が連結で ''C'' が空でなければ、実際には被覆写像の全射性は他の公理から従う。 ~~<!--== Formal definition ==~~ ▲Let ''X'' be a [[topological space]]. A '''covering space''' of ''X'' is a space ''C'' together with a [[continuous function (topology)\|continuous]] [[surjective]] map :<math>p \colon C \to X\,</math> 36 ⟶ 22行目: The special open neighborhoods ''U'' of ''x'' given in the definition are called '''evenly-covered neighborhoods'''. The evenly-covered neighborhoods form an [[open cover]] of the space ''X''. The homeomorphic copies in ''C'' of an evenly-covered neighborhood ''U'' are called the '''sheets''' over ''U''. One generally pictures ''C'' as "hovering above" ''X'', with ''p'' mapping "downwards", the sheets over ''U'' being horizontally stacked above each other and above ''U'', and the fiber over ''x'' consisting of those points of ''C'' that lie "vertically above" ''x''. In particular, covering maps are locally trivial. This means that locally, each covering map is 'isomorphic' to a projection in the sense that there is a homeomorphism, ''h'', from the pre-image ''p''<sup>−1</sup>(''U''), of an evenly covered neighbourhood ''U'', onto {{nowrap\|''U'' × ''F''}}, where ''F'' is the fiber, satisfying the '''local trivialization condition''', which is that, if we project {{nowrap\|''U'' × ''F''}} onto ''U'', {{nowrap\|''π'' : ''U'' × ''F'' → ''U''}}, so the composition of the projection ''π'' with the homeomorphism ''h'' will be a map {{nowrap\|''π'' ∘ ''h''}} from the pre-image ''p''<sup>−1</sup>(''U'') onto ''U'', then the derived composition {{nowrap\|''π'' ∘ ''h''}} will equal ''p'' locally (within ''p''<sup>−1</sup>(''U'')).--> ===別な定義=== 被覆写像の定義には、空間 X と C 上にある[[連結性\|連結]]条件を導入することも多くある。特に、双方の空間に[[弧状連結]]と{{仮リンク\|局所弧状連結\|en\|locally path-connected}}(locally path-connected)を要求することも多い。<ref>{{Cite book\|title = An Introduction to Knot Theory\|date = 1997\|last = Lickorish\|pages = 66–67}}</ref><ref>{{Cite book\|title = Topology and Geometry\|last = Bredon\|year = 1997\|isbn = 978-0387979267}}</ref> これを導入すると、問題の空間がこれらの性質を持つときに定理が成立することを証明することが容易にできるようになる。全射性、X が連結で C が空でないことを前提としない場合もあり、その場合は被覆写像の全射性は他の公理に従う。 <!--===Alternative definitions===

「被覆空間」の版間の差分