「冪集合」の版間の差分

''<math>S''</math> の部分集合 ''<math>A''</math> とその[[指示関数]] &chi;<sub>''A''</submath>\chi_A : ''S'' &rarr;\to \{0, 1\}</math> すなわち

を対応づけることにより、冪集合 2<supmath>''2^S''</supmath> と Map<math>{\rm MAP}(''S'', \{0, 1\}) = \{0 ,1\}<sup>''^S''</supmath> が[[全単射|一対一に対応]]する。これは、''<math>S''</math> の元 ''<math>a''</math> が部分集合 ''<math>A''</math> に属するとき <math>1</math>、属さないとき <math>0</math> をラベル付けすることで部分集合 ''<math>A''</math> が特定できるということに対応する。したがって特に ''<math>A''</math> の[[濃度 (数学)|濃度]] <math>{\rm card}(''A'')</math> が有限の値 ''<math>n''</math> であるとき冪集合 2<supmath>''2^A''</supmath> の濃度 <math>{\rm card}(2^{''^A'')</supmath>) は 2<supmath>2^{{\rm card}(''A'')} }= 2<sup>''^n''</supmath> に等しい。一般に、有限集合 ''<math>E''</math> から有限集合 ''<math>F''</math> への写像の総数は <math>{\rm card}(''F'')<sup>^{{\rm card}(''E'')}</supmath> となり、このことは ''<math>E''</math> から ''<math>F''</math> への写像全体のなす集合を ''F''<supmath>''F^E''</supmath> と記す（無限集合の場合にも記号を流用する）ことの根拠の一つとなっている。そして、冪集合やその濃度の[[2の冪|<math>2</math>の冪]]としての記法はこれの特別の場合にあたる。