「ホモロジー代数学」の版間の差分

m
リンク解消によりリンク修正、コホモロジー、特異コホモロジー、表現論
m (リンク解消によりリンク修正、コホモロジー、特異コホモロジー、表現論)
[[File:SnakeLemma01.png|thumb|350px|ホモロジー代数学における基本的な結果である[[蛇の補題]]で用いられる図式。]]
 
'''ホモロジー代数学'''({{lang-en-short|homological algebra}})は、一般の代数的な設定のもとで[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]を研究する[[数学]]の分野である。それは比較的新しい分野であり、その起源は19世紀の終わりの、{{仮リンク|組み合わせ論的トポロジー|en|combinatorial topology}}([[代数トポロジー]]の前身)と[[抽象代数学]]([[環上の加群|加群]]や{{仮リンク|Syzygyシジギー|en|Syzygy (mathematics)}}(Syzygy)の理論)の、主に[[アンリ・ポワンカレ]]と[[ダフィット・ヒルベルト]]による研究にまでさかのぼる。
<!--
[[多項式]][[環 (数学)]]上の[[環上の加群|加群]]に関する Hilbert の仕事。
--->
 
ホモロジー代数学の発展は[[圏論]]の出現と密接に結びついている。概して、ホモロジー代数はホモロジー的[[関手]]とそれから必然的に生じる複雑な代数的構造の研究である。<!-- 一般的な科学的意味での構造 (structure) であって、普遍代数の狭い意味での代数的構造ではない-->数学においてきわめて有用で遍在する概念の1つは'''[[鎖複体|チェイン複体]]''' (chain complex) の概念であり、これはそのホモロジーと{{仮リンク|[[コホモロジー|en|cohomology}}]]の両方を通じて研究できる。ホモロジー代数は、これらの複体に含まれる情報を得、それを[[環 (数学)|環]]、加群、[[位相空間]]や、他の 'tangible' な数学的対象のホモロジー的[[不変量]]の形で描写する手段を提供してくれる。これをするための強力な手法は{{仮リンク|スペクトル列|en|spectral sequence}}によって与えられる。
 
まさにその起源から、ホモロジー代数学は代数トポロジーにおいて非常に多くの役割を果たしている。その影響の範囲は徐々に拡大しており現在では[[可換環論]]、[[代数幾何学]]、[[代数的整数論]]、{{仮リンク|[[表現論|en|representation theory}}]]、[[数理物理学]]、[[作用素環論]]、[[複素解析]]、そして[[偏微分方程式]]論を含む。[[K-理論]]はホモロジー代数学の手法を利用する独立した分野であり、[[アラン・コンヌ]]の[[非可換幾何]]もそうである。
 
== ホモロジー代数学の歴史 ==
として定義できる。チェイン複体は、すべてのそのホモロジー群が 0 であるときに、'''非輪状''' (acyclic) または'''[[完全列]]'''、'''完全系列''' (exact sequence) と呼ばれる。
 
チェイン複体は[[抽象代数学|代数学]]や[[代数トポロジー]]においてよく現れる。例えば、''X'' が[[位相空間]]であれば、その{{仮リンク|特異チェイン|en|singular chain}} ''C''<sub>''n''</sub>(''X'') は標準 ''n''-[[単体 (数学)|単体]]から ''X'' の中への[[連続写像]]の形式的な[[線型結合]]である。''K'' が[[単体的複体]]であれば{{仮リンク|鎖 (代数トポロジー)|label=単体的チェイン|en|Chain (algebraic topology)}} ''C''<sub>''n''</sub>(''K'') は ''X'' の ''n''-単体の形式的な線型結合である。''A''&nbsp;=&nbsp;''F''/''R'' がアーベル群 ''A'' の{{仮リンク|生成元と関係式|en|Presentation of a group}} (generators and relations) による表現、ただし ''F'' は生成元で張られた{{仮リンク|自由アーベル群|en|free abelian group}}で ''R'' は relations の部分群、であれば、''C''<sub>1</sub>(''A'')&nbsp;=&nbsp;''R'', ''C''<sub>0</sub>(''A'')&nbsp;=&nbsp;''F'', そしてすべての他の ''n'' に対して ''C''<sub>''n''</sub>(''A'')&nbsp;=&nbsp;0 とすることによって、アーベル群の列が定義される。これらのケースではすべて、''C''<sub>''n''</sub> を複体にする自然な微分 ''d''<sub>''n''</sub> が存在する。その複体のホモロジーは位相空間 ''X''、単体的複体 ''K''、あるいはアーベル群 ''A'' の構造を反映している。位相空間のケースでは、{{仮リンク|[[特異ホモロジー|en|singular homology}}]]の概念に到達する。これはそのような空間例えば[[多様体]]の性質を研究する際に基本的な役割を果たす。
哲学的なレベルでは、ホモロジー代数学は、代数的あるいは幾何学的対象(位相空間、単体的複体、''R''-加群)に伴ったチェイン複体は、ホモロジーは最も容易に得られる部分でしかないが、それらについてたくさんの価値ある代数的情報を含む、ということを教えてくれる。専門的なレベルでは、ホモロジー代数学は複体を巧みに処理しこの情報を抽出するためのツールを提供する。ここに2つの一般的な例がある。
* 2つの対象 ''X'' と ''Y'' がそれらの間の写像 ''f'' で結ばれている。ホモロジー代数学は ''f'' によって誘導される、''X'' と ''Y'' に伴うチェイン複体とそれらのホモロジーの間の関係を研究する。これは複数の対象とそれらをつなげる写像の場合に一般化される。[[圏論]]の言葉で言えば、ホモロジー代数学はチェイン複体とこれらの複体のホモロジーのさまざまな構造の[[関手]]的性質を研究する。
長完全列は[[自然数]]で添え字づけられた完全列である。
 
=== ファイブレンマ五項補題 ===
{{Main|5項補題}}
任意の[[アーベル圏]]([[アーベル群]]の圏や与えられた[[体 (数学)|体]]上の[[ベクトル空間]]の圏など)や[[群 (数学)|群]]の圏において以下の{{仮リンク|可換図式|en|Commutative diagram}}を考える。
5項補題は次のものである。2つの列が[[完全列|完全]]で、''m'' と ''p'' が[[同型]]射で、''i'' が{{仮リンク|エピ射|en|Epimorphism}}で、''q'' が{{仮リンク|モノ射|en|Monomorphism}}であれば、''n'' も同型である。
 
=== スネークレンマ蛇の補題 ===
{{Main|蛇の補題}}
任意の[[アーベル圏]]([[アーベル群]]の圏や与えられた[[体 (数学)|体]]上の[[ベクトル空間]]の圏など)において、{{仮リンク|可換図式|en|Commutative diagram}}
=== アーベル圏 ===
{{Main|アーベル圏}}
[[数学]]において、'''アーベル圏''' (abelian category) は、{{仮リンク|射|en|morphism}}や対象を足すことができ、{{仮リンク|核 (圏論)|label=核|en|kernel (category theory)}}や{{仮リンク|余核|en|cokernel}}が存在し望ましい性質をもった[[圏]]である。動機付けるプロトタイプのアーベル圏の例は{{仮リンク|アーベル群の圏|en|category of abelian groups}} '''Ab''' である。理論の起源は [[アレクサンドル・グロタンディーク|Alexander Grothendieck]] によるいくつかの{{仮リンク|[[コホモロジー論|en|cohomology theory}}]]を統合しようとする試験的な試みである。アーベル圏はとても''安定''(stable)である。例えば、{{仮リンク|正則圏|label=正則|en|regular category}}であり、[[蛇の補題]]を満たす。アーベル圏のクラスはいくつかの圏論的構成で閉じている。例えば、アーベル圏の[[鎖複体|チェイン複体]]の圏や、{{仮リンク|小さい圏|en|small category}}からアーベル圏への[[関手]]の圏は、再びアーベル圏である。これらの安定性によってアーベル圏はホモロジー代数学やその先で必要不可欠なものである。理論は[[代数幾何学]]、{{仮リンク|[[コホモロジー|en|cohomology}}]]、そして純粋に[[圏論]]において、主要な応用をもつ。アーベル圏は [[ニールス・アーベル|Niels Henrik Abel]] にちなんで名づけられている。
 
より具体的には、圏が'''アーベル圏'''であるとは以下を満たすことである。
2つのチェイン複体の間の'''射''' (morphism) <math> F: C_\bullet\to D_\bullet</math> はアーベル群の準同型 ''F''<sub>''n''</sub>:''C''<sub>''n''</sub>&nbsp;&rarr;&nbsp;''D''<sub>''n''</sub> の族であって微分と交換するようなものである。これの意味するところは、すべての ''n'' に対して、''F''<sub>''n'' -1</sub>&nbsp;&bull;&nbsp; ''d''<sub>''n''</sub><sup>''C''</sup> = ''d''<sub>''n''</sub><sup>''D''</sup>&nbsp;&bull;&nbsp;''F''<sub>''n''</sub> ということである。チェイン複体の射はそれらのホモロジー群の射 <math> H_\bullet(F)</math> を誘導する。これはすべての ''n'' に対して準同型 ''H''<sub>''n''</sub>(''F''):&nbsp;''H''<sub>''n''</sub>(''C'')&nbsp;&rarr;&nbsp;''H''<sub>''n''</sub>(''D'') からなる。射 ''F'' は、それがすべての ''n'' に対して ''n'' 次ホモロジーの同型を誘導するときに、'''[[擬同型]]''' (quasi-isomorphism) と呼ばれる。
 
代数や幾何で生じる、{{仮リンク|[[特異ホモロジー|en|singular homology}}]]を含む、チェイン複体の多くの構成は、次の[[関手]]的性質をもっている。2つの対象 ''X'' と ''Y'' が写像 ''f'' で結ばれていれば、伴ったチェイン複体は <math>C_\bullet(X)</math> から <math>C_\bullet(Y)</math> への射 ''F''&nbsp;=&nbsp;''C''(''f'') によって結ばれており、さらに、写像 ''f'':&nbsp;''X''&nbsp;&rarr;&nbsp;''Y'' と ''g'':&nbsp;''Y''&nbsp;&rarr;&nbsp;''Z'' の合成 ''g''&nbsp;&bull;&nbsp;''f'' は、合成 ''C''(''g'')&nbsp;&bull;&nbsp;''C''(''f'') と一致する、<math>C_\bullet(X)</math> から <math>C_\bullet(Z)</math> への射 ''C''(''g''&nbsp;&bull;&nbsp;''f'') を誘導する。ホモロジー群 <math>H_\bullet(C)</math> もまた関手的であるということが従い、それゆえ代数的あるいは幾何学的対象の間の射はそれらのホモロジーの間の両立する (compatible) 写像を引き起こす。
 
次の定義は代数やトポロジーでよくある状況から生じる。3つのチェイン複体 <math>L_\bullet, M_\bullet, N_\bullet</math> とそれらの間の2つの射<math>f:L_\bullet\to M_\bullet, g: M_\bullet\to N_\bullet</math> からなる三つ組みは次のようなとき '''exact triple''' あるいは'''複体の短完全列''' (short exact sequence of complexes) と呼ばれ、
* [[Henri Cartan|Cartan]]-[[Samuel Eilenberg|Eilenberg]]: 彼らの 1956 年の本 "Homological Algebra" において、これらの著者は[[射影分解|射影]]および[[移入分解|移入加群分解]]を用いた。
* 'Tohoku'(東北): [[Alexander Grothendieck]] による名高い論文におけるアプローチ。1957年に[[東北数学雑誌|Tohoku Mathematical Journal]](東北数学雑誌)の Second Series に現れ、(アーベル群の[[層 (数学)|層]]を含むために)[[アーベル圏]]の概念を使っている。
* [[Grothendieck]] と {{仮リンク|Jean-Louis Verdier|label=Verdierジャン・ルイ・ヴェルディエール|en|Jean-Louis Verdier}}(Jean-Louis Verdier){{仮リンク|[[導来圏|en|derived category}}]]。導来圏は Verdier の1967年の学位論文までさかのぼる。これは多くの現代理論で使われる {{仮リンク|triangulated category三角圏|en|triangulated category}} の例である。
 
これらは計算可能性から一般性へと進展する。
一段とすぐれた (''par excellence'') 計算のスレッジハンマーは{{仮リンク|スペクトル列|en|spectral sequence}}である。これは例えば2つの関手の合成の導来関手を計算するのに必要である Cartan-Eilenberg や Tohoku のアプローチにおいて必須である。スペクトル列は導来圏のアプローチでは重要性は落ちるがそれでも具体的な計算が必要なときにはいつでも役割を果たす。
 
はじめのコホモロジーを ''{{仮リンク|torsorトルソー|en|torsor}}'' として拡張する '非可換' 理論の試みがなされている({{仮リンク|ガロワ・コホモロジー|en|Galois cohomology}}において重要である)。
 
== 関連項目 ==
13,687

回編集