「エネルギー・運動量テンソル」の版間の差分

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'''エネルギー・運動量テンソル'''(エネルギーうんどうりょうテンソル、{{Lang-en|energy-momentum tensor}}, {{en|stress-energy tensor}}, {{en|stress-energy-momentum tensor}})とは、[[質量密度]]、[[エネルギー密度]]、[[エネルギー流]]、[[運動量密度]]、[[応力]]を[[相対性理論]]に基づいた形式で記述した[[物理量]]である。
 
[[一般相対性理論]]において、[[アインシュタイン方程式]]の物質分布を示す項として登場し、[[重力]]を生じさせる源({{en|source term}})としての意味を持つ。
 
エネルギー・運動量テンソルは二階の[[テンソル]]であり、記号は <math>T^{\mu\nu}</math> で表されることが多い。アインシュタイン方程式で、[[真空]]の状況を考える時は、<math>T^{\mu\nu}=0</math> とすればよい。
 
エネルギー・運動量テンソル <math>T^{\mu\nu}</math> は、定義から明らかに対称テンソルである。
 
以下では、時間座標を0成分とし、空間座標を1,2,3成分とする添字を使い、[[計量テンソル|計量]](metric)の符号は<math>(-,+,+,+)\,</math>とする。また、[[アインシュタインの縮約記法]]を用いる。
 
 
と書かれているとき、時空の微小な併進 x → x' = x + &xi; に対して、&phi;'(x')=&phi;(x) が成り立つ。
 
従って、場は
 
 
と変換される。
 
エネルギー・運動量テンソルは
 
 
別の定義の仕方として、[[計量]]の変分により定義する方法がある。
 
作用積分が
 
+\partial^\mu\xi^\nu+\partial^\nu\xi^\mu</math>
と関連付けられる為等価である。-->
 
== 各成分の意味 ==
[[ファイル:StressEnergyTensor-ja.png|right|thumb|300px|応力エネルギーテンソル]]
 
== 完全流体近似のエネルギー・運動量テンソル ==
物質の平均自由行程が全体のスケールに比べて短いとき、流体近似が可能である。さらに、流体の静止系に乗ったときに、圧力が等方的であり(応力テンソルが対角的であり)、粘性のない場合、完全流体として考えることができる。このとき、一般に次のように仮定することができる。
流体の静止系に乗ったときに、圧力が等方的であり(応力テンソルが対角的であり)、粘性のない場合、
完全流体として考えることができる。このとき、一般に次のように仮定することができる。
:<math> T^{\mu\nu} = (\rho + p) u^\mu u^\nu + g^{\mu\nu}p\,</math>
<math>\rho, p\,</math> は、静止系で観測したときの質量エネルギー密度と圧力であり、
<math>g^{\mu\nu}, u^\mu\,</math> は、計量テンソル・流体の4元速度ベクトル(共動座標系ならば、<math>u^\mu=(1,0,0,0)\,</math>、流体速度を<math>v^i\,</math> と観測する場合には<math>u^\mu=(1,v^i)\,</math>)である。この仮定は、宇宙モデルを論じるときに通常用いられる。
 
非相対論的な場合、<math>g_{\mu\nu}\approx \eta_{\mu\nu}, \, |v^i| \ll 1, \, p\ll \rho\,</math>となるから、行列形式で成分を書くと
となるから、行列形式で成分を書くと
:<math>T^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}\rho &\rho v_x & \rho v_y &\rho v_z\\
\rho v_x&p+\rho v_x^2&\rho v_x v_y&\rho v_x v_z\\
{{Template:Tensors}}
 
{{DEFAULTSORTデフォルトソート:えねるきいうんとうりようてんそる}}
[[category:特殊相対性理論]]
[[category:物理量]]
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