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{{About|線型写像と行列による代数構造の表現の理論| 他の原理による表現論|表現 (数学){{!}}表現}}
'''表現論'''(Representation theory)とは、[[ベクトル空間]]の[[線型変換]]として[[代数的構造|代数構造]]を[[表現]]することにより[[研究]]し、代数構造上の[[環上の加群|加群]]を研究する[[数学]]の一分野である。<ref>Classic texts on representation theory include {{Harvtxt|Curtis|Reiner|1962}} and {{Harvtxt|Serre|1977}}. Other excellent sources are {{Harvtxt|Fulton|Harris|1991}} and {{Harvtxt|Goodman|Wallach|1998}}.</ref> 本質的には、表現は抽象的な代数的構造を、その元と演算を[[行列]]と[[行列#行列の和|行列の和]]や[[行列の積]]で記述することで、より具体的にする。この記述で扱われる代数的対象は、[[群 (数学)|群]]や[[結合多元環|結合代数]]や[[リー代数]]がある。これらの中で最も優れているものは、歴史的にも最初に現れた[[群の表現|群の表現論]]であり、群の演算が群の要素が行列の積により[[正則行列]]で表現されている。<ref>For the history of the representation theory of finite groups, see {{Harvtxt|Lam|1998}}. For algebraic and Lie groups, see {{Harvtxt|Borel|2001}}.</ref>
<!--{{About|the theory of representations of algebraic structures by linear transformations and matrices| representation theory in other disciplines|Representation (disambiguation){{!}}Representation}}
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[[Module (mathematics)|modules]] over these abstract algebraic structures.<ref>Classic texts on representation theory include {{Harvtxt|Curtis|Reiner|1962}} and {{Harvtxt|Serre|1977}}. Other excellent sources are {{Harvtxt|Fulton|Harris|1991}} and {{Harvtxt|Goodman|Wallach|1998}}.</ref> In essence, a representation makes an abstract algebraic object more concrete by describing its elements by [[matrix (mathematics)|matrices]] and the [[algebraic operation]]s in terms of [[matrix addition]] and [[matrix multiplication]]. The [[algebra]]ic objects amenable to such a description include [[group (mathematics)|groups]], [[associative algebra]]s and [[Lie algebra]]s. The most prominent of these (and historically the first) is the [[group representation|representation theory of groups]], in which elements of a group are represented by invertible matrices in such a way that the group operation is matrix multiplication.<ref>For the history of the representation theory of finite groups, see {{Harvtxt|Lam|1998}}. For algebraic and Lie groups, see {{Harvtxt|Borel|2001}}.</ref>-->
== 概要 ==
表現論は、[[抽象代数学|抽象的代数構造]]を良く理解されている[[線型代数]]の問題へと帰着させるので、強力なツールである。<ref name=linalg>[[ベクトル空間]]や[[線型代数]]には多くの教科書がある。進んだ扱いをしている教科書は、{{Harvtxt|Kostrikin|Manin|1997}}を参照。</ref> さらに、群が表現されているベクトル空間が無限次元ということも可能であり、例えば、[[ヒルベルト空間]]でも可能であり、群の表現論では[[解析学|函数解析]]の方法が群の理論へ適用可能となる。<ref>{{Harvnb|Sally|Vogan|1989}}.</ref> 表現論は[[物理学]]でも重要であり、例えば、物理系の[[対称群]]が、どのように物理系を記述する方程式の解へ影響するかを記述する。<ref name=Sternberg>{{Harvnb|Sternberg|1994}}.</ref>
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