「部分群の指数」の版間の差分

上記の考察は有限群に対しても正しい。例えば、chiral [[:掌性{{仮リンク|八面体群|en:octahedral symmetry|octahedral symmetry]] の群}} '''O''' は 24 個の元をもつ。位数 8 の[[二面体群|二面体部分群]] D₄ をもち（実は 3 つのそのようなものをもち）したがって '''O''' における指数 3 の部分群をもち、これを ''H'' と呼ぶことにしよう。この二面体群は 4 元からなる D₂ 部分群をもち、これを ''A'' と呼ぼう。''H'' の右剰余類の任意の元を右に ''A'' の元によって掛けることは ''H'' の同じ剰余類の元を与える (''Hca = Hc'')。''A'' は '''O''' において正規である。[[対称群]] S₃ の 6 個の元に対応して ''A'' の 6 個の剰余類が存在する。''A'' の任意の特定の剰余類からのすべての元は ''H'' の剰余類の同じ置換を演じる。

一方、[[:{{仮リンク|十二面体群|en:pyritohedral symmetry|pyritohedral symmetry]] の群}} T_h もまた 24 個の元をもち指数 3 の部分群（今回は D_2h [[:{{仮リンク|角柱対称性|en:prismatic symmetry|prismatic symmetry]] group, see [[:}}の群、{{仮リンク|三次元における点群|en:|point groups in three dimensions]]}}参照）をもつが、この場合部分群全体が正規部分群である。特定の剰余類のすべての元これらの剰余類の同じ置換を実行するが、この場合 6 元からなる S₃ 対称群において 3 元からなる[[交代群]]しか表現しない。

{{仮リンク|素数冪|en|prime power}}の指数の正規部分群は[[p-群| ''p''-群]]への全射写像の核であり面白い構造をもつ。（[[:en:Focal subgroup theorem#Subgroups|Focal subgroup theorem: Subgroups]] で記の項に述され [[:べたような、{{仮リンク|焦点部分群定理|en:|focal subgroup theorem]] で詳述}}として精緻化されてる）面白いるように構造をもつ。

* '''O'''^''p''(''G'') は ''G''/''K'' が（非アーベルでもよい）''p''-群である（すなわち ''K'' は指数 <math>p^k</math> の正規部分群である）ような ''G'' のすべての正規部分群 ''K'' の共通部分である：''G''/'''O'''^''p''(''G'') は ''G'' が全射する最大の ''p''-群（アーベルとは限らない）である。'''O'''^''p''(''G'') は {{anchors|p-residual subgroup}}'''{{mvar|p}}-残余部分群''p' ('''{{mvar|p}}-residual subgroup''') とも呼ばれる。

初等的な観察は指数 2 のちょうど 2 つの部分群をもてないということである、なぜならばそれらの[[対称差]]の[[補集合]]は 3 番目を生むからである。これは上記の議論の単純な系である（すなわち基本アーベル群のベクトル空間構造の [[:{{仮リンク|射影化|en:projectivization|projectivization]]Projectivization}}