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「シュテファン＝ボルツマンの法則」の版間の差分

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が導かれる。
 
== プランスペクトルとの放射公式からの導出関係 ==
この法則と[[ヴィーンの変位則]]により、黒体輻射における電磁波の[[スペクトル]]の形に対する制限が見いだされる。
[[黒体放射]]の[[プランクの放射公式]]は、振動数 ν の関数として、
 
[[波長]] {{mvar|λ}} で表した放射発散度のスペクトルは
{{Indent|
<math>I_\rholambda(\nulambda,T) = \frac{c_1}{8\pi \nulambda^2\over c^35}{h f( c_2/\nu\overlambda e^{h \nu/kT}-1}T)</math>
{{Indent|''c'' ：光速度，''h'' ：[[プランク定数]]，''k'' ：[[ボルツマン定数]]}}
}}
となる。あるいは、[[振動数]] {{mvar|&nu;}} で表したスペクトルは
と表される<ref>&lambda; = ''c'' /&nu;という関係式から、振動数に替え波長を用いてもよい。</ref>。空洞内の[[エネルギー密度]]は、全振動数について積分することにより求められるから、
{{Indent|
<math>I_\nu(\nu,T) =\frac{c_1}{c^4} \nu^3 f\Big( (c_2/c) \nu/T \Big)</math>
}}
となる。
 
実際、全ての波長について積分した放射発散度は
{{Indent|<math>\rho = \int_{0}^{\infty} \rho(\nu) \mathrm{d}\nu = \int_{0}^{\infty} {8\pi \nu^2\over c^3}{h \nu\over e^{h \nu/kT}-1} \mathrm{d}\nu = {8\pi h\over c^3} \int_{0}^{\infty} {\nu^3\over e^{h \nu/kT}-1} \mathrm{d}\nu</math>}}
{{Indent|
 
<math>I(T) =\int_0^\infty I_\nu(\nu,T)\, d\nu
である。ここで、
=\frac{c_1}{c^4} \int_0^\infty \nu^3 f\Big( (c_2/c) \nu/T \Big)\, d\nu
:<math>x = {h \over kT} \nu</math>▼
=\frac{c_1 T^4}{{c_2}^4} \int_0^\infty x^3 f(x)\, dx</math>
とおくと、
}}
:{{Indent|<math>\rho = {8\pi h\over c^3} \int_{0}^{\infty} {1\over e^x-1} {k^3 T^3 \over h^3} x^3 {kT\over h} \mathrm{d}x = {8\pi k^4 T^4\over c^3 h^3} \int_{0}^{\infty} {x^3\over e^x-1} \mathrm{d}x </math>}}
となり、積分が収束すればシュテファン=ボルツマンの法則 {{math|{{mvar|I}}&prop;{{mvar|T}}{{sup|4}}}} が導かれ、シュテファン=ボルツマン定数が
{{Indent|
<math>\sigma =\frac{c_1}{{c_2}^4} \int_0^\infty x^3 f(x)\, dx</math>
}}
と計算される。
 
=== プランクの法則による計算 ===
[[プランクの法則]]によれば、振動数 {{mvar|&nu;}} で表した放射発散度のスペクトルは
{{Indent|
<math>I(\nu,T) = \frac{2\pi h}{c^2}\frac{\nu^3}{\mathrm{e}^{h\nu/kT} -1}</math>
}}
で与えられる。
これは
{{Indent|
<math>f(x) =\frac{1}{\mathrm{e}^x -1}</math>
}}
の形をしている。放射定数は
{{Indent|
<math>c_1 =2\pi hc^2,~ c_2 =\frac{hc}{k}</math>
}}
であり、シュテファン=ボルツマン定数は
{{Indent|
<math>\sigma =\frac{2\pi k^4}{c^2h^3} \int_0^\infty \frac{x^3\, dx}{\mathrm{e}^x -1}</math>
}}
となる。
 
積分は[[リーマンゼータ関数#ゼータ関数の特殊値|ゼータ関数の特殊値]]の知識を用いて計算される。
と表され、<math>\int_{0}^{\infty} {x^3\over e^x-1} \mathrm{d}x</math>の値は、<math>{\pi^4 \over 15}</math>となるから<ref group="脚注">[[リーマンゼータ関数]]は、[[ガンマ関数]]を用いて、
[[ガンマ関数]]を用いた[[リーマンゼータ関数]]の定義式
 
{{Indent|
:<math>\zeta (s)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{u^{s-1}}{e^u-1} du</math>　と定義され、従って、<math>\int_0^\infty \fracmathrm{u^{s-1e}}{e^u-1} du = \zeta (s) \Gamma(s) </math> となる。
 
}}
:ここで<math>s = 4</math>とおくと、<math>\int_0^\infty \frac{u^{3}}{e^u-1} du = \zeta (4) \Gamma(4) </math> となる。
により、この積分は
 
{{Indent|
:<math>\zeta (4)={\pi^4 \over 90}</math>、 <math>\Gamma(4)\,=3!=6 \,</math>であるから、
<math>\int_0^\infty \frac{x^3}{\mathrm{e}^x -1} dx = \Gamma(4) \zeta(4)
 
:<math> =6 \int_{0}^{cdot \infty} frac{u^3\over epi^u-14} \mathrm{d90}u =\frac{\pi^4 \over }{15}</math></ref>、
}}
 
 
:{{Indent|<math>\rho = {8\pi^5 k^4 \over 15 c^3 h^3} T^4</math>}}
となる。
 
従って、シュテファン=ボルツマン定数は
これをエネルギー密度と[[放射照度]]の関係式 <math>I = {c \over 4} \rho</math>に代入し、
{{Indent|
<math>\sigma =\frac{2\pi^5k^4}{15c^2h^3}</math>
}}
と計算される。
 
=== ヴィーン近似による計算 ===
{{Indent|<math>I = {c \over 4} \rho = {c \over 4} {8\pi^5 k^4 \over 15 c^3 h^3} T^4 = {2\pi^5 k^4 \over 15 c^2 h^3} T^4</math>}}
高周波数領域における近似式である[[ヴィーンの放射法則|ヴィーンの公式]]においては
{{Indent|
<math>f(x) =\mathrm{e}^{-x}</math>
}}
の形をしており、積分は
{{Indent|
<math>\int_0^\infty x^3\,\mathrm{e}^{-x} dx =\Gamma(4) =6</math>
}}
となる。2つの放射定数がプランクの法則に基づく値と等しいとしてシュテファン=ボルツマン定数を計算すれば
{{Indent|
<math>\sigma_\text{Wien} =\frac{12\pi k^4}{c^2h^3}
=\frac{\sigma}{\zeta(4)} =\frac{\sigma}{1.0823\ldots}</math>
}}
となり、プランクの法則から導いた値と比べて少し小さい値となる。
 
=== レイリー近似による計算 ===
を得る。&pi;, ''k'', ''c'', ''h'' は全て定数であるので、<math>\sigma = {2\pi^5 k^4 \over 15 c^2 h^3}</math>とおくと、シュテファン=ボルツマンの法則を得る。
高周波数領域における近似式である[[ヴィーンの放射法則|ヴィーンの公式]]においては
{{Indent|
▲:<math>f(x) = \frac{h \over kT1}{x} \nu</math>
}}
の形をしている。積分は
{{Indent|
<math>\int_0^\infty x^2 dx</math>
}}
であり、発散してしまう。
 
== 応用例 ==
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