「単項イデアル環」の版間の差分
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''R'' が右単項イデアル環であれば、それは確かに右[[ネーター環]]である、なぜならばすべての右イデアルは有限生成だからだ。それは右ベズー環でもある、なぜならばすべての有限生成右イデアルは単項だからだ。それにまた、単項右イデアル環はちょうど右ベズーかつ右ネーターな環であることは明らかである。
単項右イデアル環は有限[[環の直積|直積]]で閉じている。<math>R=\prod_{i=1}^nR_i</math> であれば、''R'' の各右イデアルは <math>A=\prod_{i=1}^nA_i</math> の形である、ただし各 <math>A_i</math> は ''R''<sub>i</sub> の右イデアルである。すべての ''R''<sub>i</sub> が単項右イデアル環であれば、''A''<sub>i</sub>=''x''<sub>i</sub>''R''<sub>i</sub> であり、 <math>(x_1,\ldots,x_n)R=A</math> であることがわかる。それほどさらに努力しなくても右ベズー環もまた有限個の直積で閉じていることが証明できる。
単項右イデアル環と右ベズー環はまた商についても閉じている、つまり、''I'' が単項右イデアル環 ''R'' の真のイデアルであれば、商環 ''R/I'' もまた単項右イデアル環である。これは環の{{仮リンク|同型定理|en|Isomorphism theorem}}からただちに従う。
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